一维高斯分布与多维高斯分布

一维高斯分布

高斯分布（Gaussian distribution），又称正态分布（Normal distribution）。若随机变量X服从一个数学期望为μ、方差为σ^2 的正态分布，记为N(μ，σ^2)。其概率密度函数为正态分布的期望值μ决定了其位置，其标准差σ决定了分布的幅度。当μ = 0,σ = 1时的正态分布是标准正态分布。

正态分布使用下列参数：

参数	说明	范围
mu (μ)	均值	−∞<μ<∞
sigma (σ)	标准差	σ≥0

高斯分布的概率密度函数(probability density function)为：
f ( x ) = 1 2 π σ exp ⁡ ( − ( x − μ ) 2 2 σ 2 ) f(x)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma} \exp \left(-\frac{(x-\mu)^{2}}{2 \sigma^{2}}\right) f(x)=2π σ1exp(−2σ2(x−μ)2)

高斯分布曲线的特征：

关于μ对称；高斯分布的概率密度函数的积分为1；
通过公式可以看出，σ越大，x位置的概率密度就越小，曲线越平缓；而σ越小，x的概率密度就越大，曲线越瘦高的，分布比较集中。

一维高斯分布 matlab 代码

// An highlighted block
%一维高斯分布
x=-6:0.1:6;
y1=normpdf(x,0,0.5);
y2=normpdf(x,0,1);
y3=normpdf(x,0,1.5)
y4=normpdf(x,-2,1)
plot(x,y1,'r-',x,y2,'g-',x,y3,'b-',x,y4,'y-');  % '-'表示实线
title('一维高斯分布')
legend('mu=0,sigma=0.5','mu=0,sigma=1'...  %换行...,'mu=0,sigma=1.5','mu=0,sigma=1')

二维高斯分布

p ( x ; μ , Σ ) = 1 ( 2 π ) n / 2 ∣ Σ ∣ 1 / 2 exp ⁡ ( − 1 2 ( x − μ ) T Σ − 1 ( x − μ ) ) p(x ; \mu, \Sigma)=\frac{1}{(2 \pi)^{n / 2}|\Sigma|^{1 / 2}} \exp \left(-\frac{1}{2}(x-\mu)^{T} \Sigma^{-1}(x-\mu)\right) p(x;μ,Σ)=(2π)n/2∣Σ∣1/21exp(−21(x−μ)TΣ−1(x−μ))
Σ = E [ ( X − μ ) ( X − μ ) T ] \Sigma=E\left[(X-\mu)(X-\mu)^{T}\right] Σ=E[(X−μ)(X−μ)T]

二维高斯分布 matlab 代码

// An highlighted block
%二维高斯函数
figure;
mu=[0 0];
sigma=[0.3 0;0 0.35];
[x y]=meshgrid(linspace(-8,8,80)',linspace(-8,8,80)');
X=[x(:) y(:)];
z=mvnpdf(X,mu,sigma);
surf(x,y,reshape(z,80,80));
hold on;
%第一个
mu=[4 0];
sigma=[1.2 0;0 1.85];
[x y]=meshgrid(linspace(-8,8,80)',linspace(-8,8,80)');
X=[x(:) y(:)];
z=mvnpdf(X,mu,sigma);
surf(x,y,reshape(z,80,80));

参考：维基百科.