本文将从原理上详细解释KMP算法中的next数组以及nextval数组，尽量让大家明白它们到底在记录什么，为什么要这样算。以及现在普遍的KMP算法实现当中的next数组与前两者有何不同。篇幅较长，但尽量讲清楚。

文章目录

next数组
- next数组到底在记录什么？
nextval数组
- nextval数组在记录什么？为什么需要nextval数组？
现在普遍的KMP实现算法中的next数组又在记录什么？
- 相同之处
- 不同之处

next数组

next数组到底在记录什么？

虽然数据结构中对next数组有定义，但并不易于理解，因此我个人对next数组进行了一个简单解释：

next数组指示了当前模式串在该位置匹配冲突（即失配，个人习惯称冲突）时，应该将模式串的哪一位与此位对齐。

这里为刚学习KMP的朋友解释一下，KMP算法进行字符串匹配时，被检索的串称为“文本串”，要检索的目标串称为“模式串”。next数组与nextval数组的求解只与模式串有关。

举个例子：
假设需要在字符串 “abaabbcabaabcac” 中查找是否存在字符串 “abaabcac”，那么 "abaabbcabaabcac"就是文本串，"abaabcac"就是模式串。

这里其它的许多详解中会直接告诉你，next数组的第一位是0，第二位是1，然后从第三位开始继续算什么的，但很少看到有解释为什么第一位一定是0，第二位一定是1。

为了解释这个问题，我们首先要搞清楚模式串的“位”是什么样的。
对“abaabcac”来说，第一个字符a就是第一位，不要受一些编程语言思维的影响认为这是第0位。

位数	1	2	3	4	5	6	7	8
模式串	a	b	a	a	b	c	a	c

但是为了便于理解，我们假想模式串的最前面还有一个空白字符位，称为第0位，即：

位数	0	1	2	3	4	5	6	7	8
模式串		a	b	a	a	b	c	a	c

现在，我们再来对照前面给出的定义：
next数组指示了当前模式串在该位置匹配冲突时，应该将模式串的哪一位与此位对齐。

是不是就理解为什么第一位一定是0，第二位一定是1了？
还没有？那我们再假想一个文本串加上来。

待求位：      1 2 3 4 5 6 7 8
文本串：      x x x x x x x x x x x x x x x x
模式串：      a b a a b c a c

现在标红的位置发生冲突，那么下一步应该让模式串的哪一位跟当前冲突的 x 位对齐呢？没错，就是第0位。也就是变成：

待求位：      1 2 3 4 5 6 7 8
文本串：      x x x x x x x x x x x x x x x x
模式串：          a b a a b c a c
位数：          0  1 2 3 4 5 6 7 8

所以，当模式串的第一位发生冲突时，应该将模式串的第0位与当前位置对齐，也就是next[1]=0;

继续看第二位发生冲突的情况：

待求位：      1 2 3 4 5 6 7 8
文本串：      a x x x x x x x x x x x x x x x
模式串：      a b a a b c a c

此时需要将模式串移动为：

待求位：      1 2 3 4 5 6 7 8
文本串：      a x x x x x x x x x x x x x x x
模式串：          a b a a b c a c
位数：          0  1 2 3 4 5 6 7 8

所以，当模式串的第二位发生冲突时，应该将模式串的第1位与当前位置对齐，也就是next[2]=1;

无论模式串如何变化，只要其长度大于等于2，这两种情况都是固定的，因此next[1]一定为0，next[2]一定为1。

继续看第三位发生冲突的情况：

待求位：      1 2 3 4 5 6 7 8
文本串：      a b x x x x x x x x x x x x x x
模式串：      a b a a b c a c

这时，假如我们仍然只移动一位，可以吗？

待求位：      1 2 3 4 5 6 7 8
文本串：      a b x x x x x x x x x x x x x x
模式串：          a b a a b c a c

可以发现，如果仍然只移动一位，那么 x 位之前的位置也出现了冲突！

因此究竟该将模式串的哪一位与冲突的位置对齐呢？
一个重要原则是：当前冲突位置之前的一位不能有冲突！

换句话说，要解决第三位的冲突，移动模式串时起码要保证第二位是无冲突的。

那现在出现冲突了怎么办呢？
。
。
。
想想next数组本身的作用？不就是指示了出现了冲突时，应该将哪一位与该位置对齐吗？！

想到这里，问题就变得简单了。

现在第二位出现了冲突，按next[2]指示应该将第一位的a与该位置对齐，那现在冲突解决了吗？
显然b不等于a，没有解决。但是问题已经转化成了第一位的位置出现冲突了！
继续查next[1]，等于0，也就是说需要将模式串的第0位与该位置对齐。第0位是空的，我们认为它一定不会产生冲突，至此，第二位的冲突顺利解决了，那现在我们和第二位对齐的是哪一位呢？没错，是第0位，如下：

待求位：      1 2 3 4 5 6 7 8
文本串：      a  b x x x x x x x x x x x x x x
模式串：              a b a a b c a c
位数：              0  1 2 3 4 5 6 7 8

那和第三位（待解决的冲突位）对齐的自然是第0位的下一位，即第一位。由此，便可以得到next[3]=1。

而这个过程就是其他计算详解中所提到的，【找到当前要求的next字符的前一个字符，以它为标准，找到其next对应下标的字符，和这个字符做比较。若相等，那么当前字符的next值就位此字符next加一；若不等，继续找现在字符next所指的下一个字符，还是和之前的字符比较，直到找到第一个位置为止，那么next为1。】其实就是依据现有next值解决前一位冲突的过程。

为了让大家更熟悉这个过程，再继续看一下第四位发生冲突的情况：

待求位：      1 2 3 4 5 6 7 8
文本串：      a b a x x x x x x x x x x x x x
模式串：      a b a a b c a c

按前面所讲，要确定需要让哪一位与第四位对齐，起码要保证第三位是无冲突的。
第三位是什么？字符a，第三位冲突时需要对齐的是哪一位？是next[3]=1，即第一位的字符a。
显然a和a是相等的，至此第三位的冲突已经解决，我们将模式串的第一位与第三位对齐，如下：

待求位：      1 2 3 4 5 6 7 8
文本串：      a  b a x x x x x x x x x x x x x
模式串：              a b a a b c a c
位数：              0  1 2 3 4 5 6 7 8

那和第四位（待解决的冲突位）对齐的自然是第一位的下一位，即第二位。由此，便可以得到next[4]=2。

第五位冲突的情况：

待求位：      1 2 3 4 5 6 7 8
文本串：      a b a a x x x x x x x x x x x x
模式串：      a b a a b c a c

至少保证第四位无冲突，第四位为字符a，next[4]=2，所指示字符为第二位的b，a不等于b，转化为第二位的冲突；next[2]=1，所指示的字符位第一位的a，a等于a，冲突解决。此时和第四位对齐的是第一位的a，如下：

待求位：      1 2 3 4 5 6 7 8
文本串：      a  b a a x x x x x x x x x x x x
模式串：                  a b a a b c a c
位数：                  0  1 2 3 4 5 6 7 8

那和第五位（待解决的冲突位）对齐的自然是第一位的下一位，即第二位。由此，便可以得到next[5]=2。

第六位冲突的情况：

待求位：      1 2 3 4 5 6 7 8
文本串：      a b a a b x x x x x x x x x x x
模式串：      a b a a b c a c

至少保证第五位无冲突，第五位为字符b，next[5]=2，所指示字符为第二位的b，b等于b，冲突解决。此时和第五位对齐的是第二位的b，如下：

待求位：      1 2 3 4 5 6 7 8
文本串：      a  b a a b x x x x x x x x x x x
模式串：                  a b a a b c a c
位数：                  0  1 2 3 4 5 6 7 8

那和第六位（待解决的冲突位）对齐的自然是第二位的下一位，即第三位。由此，便可以得到next[6]=3。

第七位和第八位的冲突大家可以自行计算，最终便可以得到模式串的next数组值：

位数	1	2	3	4	5	6	7	8
模式串	a	b	a	a	b	c	a	c
next值	0	1	1	2	2	3	1	2

nextval数组

nextval数组在记录什么？为什么需要nextval数组？

其实和next数组一样，nextval数组也是用来指示当前模式串在该位置匹配冲突时，应该将模式串的哪一位与此位对齐的。

既然nextval数组的作用和next数组一样，那为什么需要nextval数组呢？
在严蔚敏的《数据结构(C语言版)》中，说明了next数组存在的问题，我们同样以该例子来讲。

假设文本串为 “aaabaaaab”，模式串为 “aaaab”。
根据前面的讲述，我们可以得到模式串的next数组值如下：

位数	1	2	3	4	5
模式串	a	a	a	a	b
next值	0	1	2	3	4

冲突发生在第四位：