本文讲解ROBI POLIKAR编写的小波变换教程《THE WAVELET TUTORIAL》的第一部分：为什么需要小波变换。

链接：http://users.rowan.edu/~polikar/WTtutorial.html

该教程的目录如下，主要分为四个部分：1)概览：为什么需要小波变换；2)基础：傅里叶变换及短时傅里叶变换；3)多尺度分析：连续小波变换；4)多尺度分析：离散小波变换

这是一篇引导性的教程，作者将给出小波变换的基本原理，而不会涉及公式和理论的证明。1)为什么需要变换？究竟什么是变换？

将数学变换作用于信号，可以获得比原来的信号更丰富的信息。假设时域信号为原始信号，经任何数学变换后的信号为处理后的信号。

有许多变换可以用，其中傅里叶变换是最受欢迎的。

时域信号的信息可以用时间-幅度图来刻画，即横轴是时间，纵轴是信号的幅度。然而，时间-幅度图对于大多数信号处理相关的应用而言，并不是最佳的方式。大多数情况下，最明显的特征信息隐藏在信号的频域内。频谱图是从频域角度刻画信号的，且能显示信号中存在什么样的频率。

那我们怎么测量一个信号的频率呢？或者说怎么超出信号中的频率成分？答案是傅里叶变换。如果对时域信号进行傅里叶变换，那么就可以获得信号的频率-幅度图【频谱图】(频率轴从0一直到无穷大，对于每个频率都对应一个幅度值)。

频谱图总是对称的，但是对称部分所含信息一样。因此，只需保留一般的频谱图即可。

2)为什么需要频域信息？

通常情况下，在时域上不能轻易获取的信息可以在频域上获得。尽管傅里叶变换可能是最受欢迎的变换，但是不止它一种变换。有许多其它变换也经常被使用，例如希尔伯特变换、短时傅里叶变换、维格纳分布等等。每种变换都有它自己使用的领域以及优缺点。傅里叶变换是一种可逆变换，即可以在原始信号和变换后的信号之间互相转换。但是，傅里叶变换只告诉了我们在信号中每个频率的幅度多大，但是没有告诉我们这些频率在什么时刻存在。也就是说，通过傅里叶变换，要么只能得到时域信息，要么只能得到频域信息。有没有同时得到时域和频域信息的方法呢？如果一个信号是静态的，即频率分量不随时间改变。换句话说，在所有的时刻都存在相同的频率。因此，对于静态信号，只用傅里叶变换就够了。

该信号的时间-幅度图如下：

该信号的频率-幅度图如下：

但是，如果一个信号是非静态的，那么只用傅里叶变换就不够了，因为傅里叶变换不能告诉我们频率存在的时刻。因此，小波变换就派上了用场。3)小波变换

小波变换能够同时提供时域和频域上的信息，即给出原始信号的时频表示。小波变换具体的工作原理放在算是傅里叶变换之后的内容介绍，因为小波变换的提出就是为了解决短时傅里叶变换分辨率问题的。

To make a real long story short, we pass the time-domain signal from various highpass and low pass filters,which filters out either high frequency or low frequency portions of the signal. This procedure is repeated,every time some portion of the signal corresponding to some frequencies being removed from the signal.

简单地说，时域信号分别经过高通滤波器和低通滤波器，则可以将信号中的高频和低频成分分离出来。

Here is how this works: Suppose we have a signal which has frequencies up to 1000 Hz. In the first stagewe split up the signal in to two parts by passing the signal from a highpass and a lowpass filter (filtersshould satisfy some certain conditions, so-called admissibility condition) which results in two differentversions of the same signal: portion of the signal corresponding to 0-500 Hz (low pass portion), and 500-1000 Hz (high pass portion).Then, we take either portion (usually low pass portion) or both, and do the same thing again. This operationis called decomposition.注：小波包变换也会对高频部分进行降解。Assuming that we have taken the lowpass portion, we now have 3 sets of data, each corresponding to thesame signal at frequencies 0-250 Hz, 250-500 Hz, 500-1000 Hz.Then we take the lowpass portion again and pass it through low and high pass filters; we now have 4 sets ofsignals corresponding to 0-125 Hz, 125-250 Hz,250-500 Hz, and 500-1000 Hz. We continue like this untilwe have decomposed the signal to a pre-defined certain level. Then we have a bunch of signals, whichactually represent the same signal, but all corresponding to different frequency bands. We know which signal corresponds to which frequency band, and if we put all of them together and plot them on a 3-D graph, we will have time in one axis, frequency in the second and amplitude in the third axis. This will showus which frequencies exist at which time Higher frequencies are better resolved in time, and lower frequencies are better resolved in frequency.

不确定性原则：我们不能精确地知道在什么时刻存在什么样的频率，只能知道在哪个时间段内存在哪些频率带。