问题简介

详情请参考hihocoder官网。从N个数字选取任意个数字使得数字和最大，需要满足连续M个数字中不选择超过Q个。

算法详解

这个问题可以利用动态规划求解，需要按数字枚举，且对于前M个是否选取的状态展开。时间复杂度为O(N*2^M)，因为M不大于10，所以O(2^M)=O(1024)=O(1)。

具体的对于第i个数字，存储i-M+1到i这M个数字的2^M种选取情况下，从前i个数字中进行满足条件的选取可以得到的最大值。

问题在于状态是动态且不定的，所以需要对状态进行压缩。具体的，用一个数字即可表示所有的状态，从个位起第k个bit表示第i-k+1个数字是否选取，选取则为1，否则为0.

这样得到的转移方程即为

f[i][j] = 0 if cnt[j] > Q
f[i][j] = max(f[i-1][j>>1+1<<(M-1)],f[i-1][j>>1])+weight[j]; if j&1==1
f[i][j] = max(f[i-1][j>>1+1<<(M-1)],f[i-1][j>>1]); if j&1==0

其中cnt[j]表示j中有多少个1。

代码

#include <iostream>using namespace std;void build_cnt(int *cnt,int m){int len = 1<<m;for (int i = 0;i < len;++i){cnt[i] = 0;for (int j = 0;j < m;++j)cnt[i] += ((i>>j)&1);}
}inline int mmax(int a,int b){return (a>b)?a:b;
}int main()
{int n,m,q;int weight[1002] = {0};cin >> n >> m >> q;for (int i = 0;i < n;++i)cin >> weight[i];int maxw[2][2050] = {0};int cnt[2050];bool flag = true;int len = 1<<(m);build_cnt(cnt,m);//    cout << "cnt: ";
//    for (int i = 0;i < len;++i)
//        cout << cnt[i] << ' ';
//    cout << endl;for (int i = 0;i < n;++i){for (int j = 0;j < len;++j){if (cnt[j] > q)maxw[flag][j] = 0;else {if (j&1){maxw[flag][j] = mmax(maxw[!flag][(j>>1)+(1<<(m-1))],maxw[!flag][(j>>1)])+weight[i];}else {maxw[flag][j] = mmax(maxw[!flag][(j>>1)+(1<<(m-1))],maxw[!flag][(j>>1)]);}}}
//
//        cout << i << ": ";
//        for (int j = 0;j < len;++j)
//            cout << maxw[flag][j] << ' ';
//        cout << endl;flag = !flag;}int result = 0;for (int i = 0;i < len;++i){if (result < maxw[!flag][i])result = maxw[!flag][i];}cout << result << endl;return 0;
}

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