线性代数纯手撸伴随矩阵

2024-05-21 17:14:44

伴随矩阵

伴随矩阵定义

根据行列式展开定理（两条）和矩阵乘法的定义，推导过程如下：
以三阶行列式为例：

由此不难得出，当A为可逆矩阵时，可以得到以下公式：

有人会疑惑

这个公式的推导，证明过程很简单，只需写出A的可逆矩阵的伴随矩阵定义式，便轻易得出结论。

伴随矩阵公式全部推导

以下公式可不用背诵，会推导即可。

第(3)公式推导如下：
这其中运用了伴随矩阵的定义(伴随等于行列式乘逆矩阵)；
行列式的性质(转置矩阵和原矩阵行列式相等)；
可逆矩阵的性质(逆的转置等于转置的逆)；
伴随矩阵的性质(k倍的转置等于转置的k倍)，因为|A|是一个常数。

第(4)条公式推导如下：
这其中运用了伴随矩阵的定义(伴随等于行列式乘逆矩阵)；
可逆矩阵的性质(逆的k次方等于k次方的逆)；
矩阵的性质(k次方的行列式等于行列式的k次方) 这是 |AB|=|A||B| 的推导。

很多人误以为 |A+B|=|A|+|B| 也是成立的，这是错误的，原因如下，并不是简单的拆项。大坑

公式(5)推导：

公式(6)推导：

k倍矩阵的行列式等于行列式的k的n次方倍，根据行列式的线性性质，k倍的行列式只是给某一行或某一列乘k倍，总共n行n列，所以为k的n次方倍。

公式(7)推导：

公式(8)推导：

运用了上述公式(7)

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