bzoj2820 [bzoj2820]YY的GCD(线性素数筛+莫比乌斯反演)

求gcd(i,j)为质数的个数。即
∑p∑i=1n∑j=1mgcd(i,j)==p \sum\limits_p\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^mgcd(i,j)==p
首先我们可以像bzoj2301一样把后一部分化简，得到(假定n< m)
∑p∑d=1⌊n/p⌋μ(d)⌊n/pd⌋⌊m/pd⌋ \sum\limits_p\sum\limits_{d=1}^{\lfloor n/p\rfloor}\mu(d)\lfloor n/pd\rfloor\lfloor m/pd\rfloor
设k=pd,则得到
∑k=1n∑p|kμ(k/p)⌊n/k⌋⌊m/k⌋ \sum\limits_{k=1}^n\sum\limits_{p|k}\mu(k/p)\lfloor n/k\rfloor\lfloor m/k\rfloor
我们预处理出前半部分的前缀和（利用线性素数筛），后面的就是用floor函数分块的套路算啦！素数是O(n/logn)级别的，更新时是均摊O(logn)的，因此预处理的复杂度是O(n)的。总的复杂度是 O(T∗(√n)) O(T*\sqrt(n))。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
#define N 10000010
int T,n,m,mu[N],prime[N],tot=0;
ll f[N];
bool notprime[N];
inline int read(){int x=0;char ch=getchar();while(ch<'0'||ch>'9') ch=getchar();while(ch>='0'&&ch<='9') x=x*10+ch-'0',ch=getchar();return x;
}
void Mobius(){memset(notprime,0,sizeof(notprime));mu[1]=1;notprime[1]=1;for(int i=2;i<=N;++i){if(!notprime[i]){prime[++tot]=i;mu[i]=-1;}for(int j=1;prime[j]*i<=N;++j){notprime[prime[j]*i]=1;if(i%prime[j]==0){mu[prime[j]*i]=0;break;}mu[prime[j]*i]=-mu[i];}}for(int j=1;j<=tot;++j)for(int i=1;prime[j]*i<=N;++i)f[prime[j]*i]+=mu[i];for(int i=2;i<=N;++i) f[i]+=f[i-1];
}
ll ANS(int a,int b){ll re=0;if(a>b) swap(a,b);int last;for(int i=1;i<=a;i=last+1){last=min(a/(a/i),b/(b/i));re+=(f[last]-f[i-1])*(a/i)*(b/i);}return re;
}
int main(){
//  freopen("a.in","r",stdin);Mobius();T=read();while(T--){n=read();m=read();printf("%lld\n",ANS(n,m));}return 0;
}

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