Ferguson博弈

清空/分割游戏也叫做Ferguson博弈。

进行游戏需要用到两个盒子，在游戏的开始，第一个盒子中有n枚石子，第二个盒子中有m个石子(n, m > 0)。参与游戏的

两名玩家轮流执行这样的操作：清空一个盒子中的石子，然后从另一个盒子中拿若干石子到被清空的盒子中，使得最后两个

盒子都不空。当两个盒子中都只有一枚石子时，游戏结束。最后成功执行操作的玩家获胜。找出游戏中所有的P位置。

结论：对于一个位置(x, y)来说，如果x, y中有一个偶数，那么(x, y)是N（必胜）位置。如果x和y都是奇数，那么

(x, y)是P位置（必败），可以用数学归纳法证明。

证明：

证明结论：(x,y)至少一偶时，先手胜；都为奇时，先手败

证明：

(x,y)=(1,1)时是先手必败态，下对max(x,y)>1进行归纳

1、当max(x,y)=2时，即(x,y)=(1,2)或（2,1）或（2,2），先手留下一个2分为（1,1），先手获胜。

即当max(x,y)=2时结论成立。

2、假设max(x,y)<k时结论都成立，现证max(x,y)=k时结论成立。

若（x,y)中有一个偶数(设为a)，先手将另一个清空，把偶数a分为两个奇数b和c，由于b、c<a 小于等于 k，即

max(b,c)<k,由假设，在（b,c)位置上后手作为新先手必败，故先手胜。

若(x,y)都为奇数，先手只能保留一个奇数并将其分解为一奇a一偶b,由于max(a,b)<max(x,y)=k,由假设，在（a,b)位

置上后手作为新先手必胜，故先手败。

经典题目：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2147

题目：http://uva.onlinejudge.org/index.php?option=com_onlinejudge&Itemid=8&page=show_problem&problem=3714

题意：本题与清空/分割游戏不同的是，每次清空球较少的那个盒子，而清空/分割游戏是清空任意一个盒子，不管球的个数多少，其它条

件都相同。

分析：本题就是找规律，可以发现就是判断n+1是否是2的整数次幂，那么用(n & ( n + 1 )) == 0来判断就行了。

暴力程序：

#include <iostream>
#include <string.h>
#include <stdio.h>using namespace std;
const int N = 105;bool dp[N][N];
bool vis[N][N];bool dfs(int n,int m)
{if(n == 1 && m == 1) return 0;if(vis[n][m]) return dp[n][m];for(int i=1; i<=n/2; i++){dp[n-i][i] = dfs(n-i,i);vis[n-i][i] = 1;}for(int i=1; i<=n/2; i++)if(!dp[n-i][i]) return 1;return 0;
}int main()
{memset(dp,0,sizeof(dp));memset(vis,0,sizeof(vis));for(int i=1;i<65;i++)cout<<dfs(i,1)<<" ";cout<<endl;return 0;
}

结论：如果(n & (n + 1)) == 0，那么先手败，否则先手胜。

#include <iostream>
#include <string.h>
#include <stdio.h>using namespace std;int main()
{int n;while(cin>>n){if(n == 0) break;if((n & (n + 1)) == 0) puts("Bob");else puts("Alice");}return 0;
}

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