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目录：

一、电路模型与定理

参考：邱关源《电路》第五版 章节【一】【二】【四】【五】

二、电路分析方法

参考：邱关源《电路》第五版 章节【三】【十五】【十六】

三、电路动态分析方法

参考：邱关源《电路》第五版 章节【六】【七】【十四】

四、正弦电路分析

参考：邱关源《电路》第五版 章节【八】【九】【十】【十一】【十二】【十三】

五、非线性电路与均匀传输线

参考：邱关源《电路》第五版 章节【十七】【十八】

上节回顾：硬件狗教你学电路【一】中我们解读了各种电路数学化的定理与建模的一般方法，通过该方法我们可以将电路里面的物理元件转化为我们需要分析的数学问题，从而通过数学的语言来描述电路的状态，而不考虑其中的物理现象，真正实现“透过现象看本质”。

电路的组成主要包含两个要素：元件和拓扑。本章的主要内容为分析电路的一般性方法

二、电路分析方法

对于一个电路而言，我们需要抽丝剥茧形成最简单的电路图，忽略电路各元器件的组成，由最纯粹的节点和支路组成。在一般的教学过程中对电路的图一般解读不多，这就导致后面什么节点电压法，回路电流法，网孔电流法学得云里雾里，本篇文章中将重点解读下“电路的图”，对这些基本的图论有一定了解后面的方法自然就能够很好的理解了。总体的思路是：将具体问题抽象化（电路拓扑）以提高理解维度，然后再降低为低维度（电路支路）问题，从而对复杂电路进行一般性分析。这也是电路课程学习的主要意义：掌握一般性方法！

0、电路的图与树的概念

随着电路复杂度的提升，我们需要总结出一般性的电路分析方法，这里面涉及到大量的“图论”和“拓扑学”的相关知识，本文不展开讨论，但是了解其基本概念还是有利于我们对电路进行分析。对于一个电路而言需要将其电路的转化成如下的“抽象图”，称为电路的图，这种图包含了电路里面关键的两个信息：节点和支路。

对于一个电阻电路而言，两个节点之间的电路称为一条支路，每条支路拥有两个约束量：电压和电流，求解出每条支路的电压和电流即能够求解出整个电路的结果。比如对于一个电路，有n个节点，b条支路（支路数和节点数无关），该电路有2b（电压和电流）个未知量需要求取，如果能够列出2b个独立的方程组即能够完整地描述出电路状态。

那么重点问题是我们描述这个电路的方程应该怎么列？

1、 电路分析的方程解法

通过图论的分析，可以得到以下几个基本的规律：

对于电路中的n 个节点而言，在任意（n-1）个节点上可以得出（n-1）个独立方程数

对于电路中的回路列KVL可以得到b-(n-1)个独立方程数

对于电路中的支路可以根据VCR关系得到b个方程

因此，以上是一般性的方法获得2b个独立方程数，简称2b法

那么我们在分析电路的时候如何进行这些方程的选取呢？

KCL方程很好列，任意选取(n-1)个节点即可得出KCL方程。这里因为将n个节点看做一个“大节点”那么其广义节点的电流和为零，因此只能获得(n-1)相互独立的KCL方程。

那么如何选取独立的KVL的回路进行列方程呢？对于一个电路而言，找到独立的回路数，是有一般方法的：

1、先在电路中找一个“树”（连通，包含所有节点，不含闭合路径），可以证明一个树包含的支路数为（n-1），那么剩下的支路数就是b-(n-1)

2、对于选定的“树”，再添加一条支路必然构成一个闭合回路（包含该支路），那么可以对该闭合回路列出其KVL方程，那么可以得到b-（n-1）个KVL方程，并且可以证明这些方程是相互独立的。

3、剩下添加进去VCR关系方程即可列出所有的电路方程

通过以上的方法所获得KVL独立方程的方法，称为“支路电流法”

注意：支路电流法存在一种特殊的情况--网孔电流法，网孔电流法的适用范围仅适用于“平面电路”，也即是不能存在节点以外支路交叉的情况，网孔电流也是支路电流的一种特殊情况，因此不难看出网孔电流的个数为b-(n-1)。

支路电流法，网孔电流法，节点电压法，为一般的电路分析方法，在我们对一个电路进行方程选取过程中，通过对电路的观察尽可能多的获得已知量，从而简化方程复杂度，以下为一些常用的方程选取的一般性原则：

1、支路为独立电流源/电压源可以直接确定该条支路的电流/电压结果

2、选取合适的0电压参考点可以大大简化方程的复杂度

3、对于“平面电路”可以直接利用网孔电流法，而无需找“树”和“枝干”

当然，最最重要的是灵活应用基尔霍夫定律！！通过在电路图上局部列写基尔霍夫方程尽可能多的确定电路参数，对于不是太过复杂电路可以很快得出结果，但是因为由于没有进行独立方程的区分，可能会列出非独立的方程，使得局部电路方程无解，这样需要寻找更多非关联的信息来求取电路方程。

2、电路的矩阵形式

学过《线性代数》的我们知道，方程组的形式可以等效为矩阵的形式，将系数矩阵

和参数矩阵

相乘可以直接获得方程组的形式，

通过矩阵运算实现方程组求解是多变量系统问题的最佳选择。随着电路的复杂度的提高，我们通过“列方程”的方法已经不能满足我们对电路问题的求解了，尤其是对相互包含和耦合的复杂电路拓扑，这时候我们需要借助计算机（CAE）的能力来帮助我们求取电路结果。矩阵描述电路称为了电路CAE科学发展的基石，这里我们有必要对其一些基本的思想做一些了解。

我们之前讨论了一些节点和支路的关系，结合KVL和KCL：n个节点的电路自由度为(n-1)

这也是我们使用拓扑图分析电路问题基础，这样我们只要找出(n-1)一个方程就能求解出这个电路的所有变量，当然支路上的VCR方程是显而易见的。

对于一个电阻电路而言，两个节点之间的电路称为一条支路，每条支路拥有两个约束量：电压和电流。求解出每条支路的电压和电流即能够求解出整个电路的，比如对于一个电路而言有n个节点，b条支路（支路数和节点数无关）。因此，对于一个电路而言有2b（电压和电流）个未知量需要求取，如果能够列出2b个独立的方程组即能够完整地描述出电路状态。

那么现在去掉一些显而易见的VCR方程，就成为了求取b条支路的电压，或者电流。

想想节点电压有n个，其中一个可以自由定义为参考电压“零”，那么求取出n-1个节点电压就能进而求出所有支路的电压（节点间的差值），好了至此我们需要求解的最小未知量为(n-1)这也是之前为什么说n个节点的电路自由度为(n-1)。那么，另一方面我如果以每条支路上电流为待求量，那么就有b-(n-1)个自由变量，因为有（n-1）个KCL方程约束了关联性。

2-1关联矩阵

我们将每个支路定义一个方向，对于一个节点而言，定义流出节点记为（+1），流入节点记为（-1）。那么就可以通过一个矩阵的形式得到这个电路的关联关系，这个矩阵称为“关联矩阵”，记这个关联矩阵为A，这是一个b*n的矩阵，将该矩阵乘以支路电流序列就等于写出了KCL的矩阵形式。

参考章节【三】【十五】【十六】

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