项目介绍

局部均值分解（LMD）作为近年来出现的一种新的自适应时频分析方法，能够依据信号的自身特点将复杂的多分量调幅调频信号分解为有限个的单分量调幅调频信号之和，进而求取瞬时频率和瞬时幅值并进行组合，得到原始信号完整的时频分布。与经验模态分解方法相比，在端点效应、虚假分量、过包络和欠包络等问题方面有所改善。本文旨在介绍LMD的基本原理和实现流程。

调制信号

在介绍LMD之前，有必要对调制信号的概念进行说明，因为LMD的目的是将原始信号分解为调频信号及其幅值。

滚动轴承发生故障时，其振动信号一般仪现出明显的非平稳特性，而且其中蕴含多种频率成分，又由于受滚动轴承高速转动过程中产生的周期性冲击力的影响，各个不同频率成分均会出现不同程度的调制现象。所以在实际工程领域，采集到的滚动轴承振动信号燕都为非平稳非线性的调制信号。所谓调制，是指将某个信号中携带的信息嵌入到另一个信号中，从而使被嵌入信号的特征参数发生改变。其中，作为载体被嵌入其他信号信息的信号称为载波，而所嵌入的信息一般由调制波携带。信号的调制方式包括幅值调制、频率调制和幅值频率同时调制三种方式。

调幅信号

调幅信号的频率不变，只有幅值会随时间发生变化。

调频信号

调幅信号的幅值不变，只有频率会随时间发生变化。

调幅调频信号

调幅调幅信号的幅值和频率都会随时间发生变化。

局部均值分解

基本原理

作为一种新的自适应的时频分析方法，局部均值分解算法能够根据信号自身的复杂程度及变化规律，将一个复杂的多分量信号通过多重循环迭代的方式逐步分解成若干个乘积函数（PFPFPF）和一个残余分量之和，而每一个乘积函数都是一个包络函数和一个纯调频函数的乘积。这种相乘得到的乘积函数分量本质上是一个单分量调制信号，理论上应与某一物理过程对应，确保了通过乘积函数分量所对应的纯调频函数求得的瞬时频率具有明确的物理意义，将每一个乘积函数的瞬时频率与瞬时幅值进行组合，得到原始信号完整的时频分布，进而可以将信号能量在空间各尺度上的分布规律清楚明确地揭示出来。

LMD方法实质上是将一个复杂的多分量信号分解成若干个PFPFPF分量之和，从而可以在原信号的不同频带提取出特征信息。在整个分解过程中，需要不断地将原始信号中的高频成分提取出来并逐步剔除。分解开始时，首先需要找出信号的所有局部极燕值点和局部极小值点，然后采用滑动平均的方式来获得信号的局部均值函数和包络估计函数，从原始信号中去除局部均值函数并且与包络估计函数进行解调直到得到标准的纯调频函数终止循环迭代，将迭代过程中产生的所有包络估计函数的乘积作为包络函数，并与最后所得的纯调频函数相乘，即求得了第一阶PFPFPF分量，从原始信号中分离出第一阶PFPFPF分量后再重复以上步骤，依次分解得到各阶PFPFPF分量及残余分量R。

LMD实现步骤

1、设原始信号为x(t)x(t)x(t)，找出其每一个局部极值点nin_ini，计算nin_ini和ni+1n_{i+1}ni+1的平均值：
mi=ni+ni+12m_i=\frac{n_i+n_{i+1}}{2}mi=2ni+ni+1
将所有平均值mim_imi在对应极值点时刻tnit_{n_i}tni和tni+1t_{n_{i+1}}tni+1之间进行直线延伸，采用滑动平均法对延伸直线进行平滑处理，得到局部均值函数m11(t)m_{11}(t)m11(t)。
2、计算局部幅值aia_iai：
ai=∣ni−ni+1∣2a_i=\frac{|n_i-n_{i+1}|}{2}ai=2∣ni−ni+1∣
将所有局部幅值aia_iai在对应极值点时刻tnit_{n_i}tni和tni+1t_{n_{i+1}}tni+1 之间进行直线延伸，采用滑动平均法对延伸直线进行平滑处理，得到局部均值函数a11(t)a_{11}(t)a11(t)。
3、从原始信号x(t)x(t)x(t)中分离出局部均值函数m11(t)m_{11}(t)m11(t)：
h11(t)=x(t)−m11(t)h_{11}(t)=x(t)-m_{11}(t)h11(t)=x(t)−m11(t)
4、用a11(t)a_{11}(t)a11(t)对h11(t)h_{11}(t)h11(t)进行解调，得到：
s11(t)=h11(t)a11(t)s_{11}(t)=\frac{h_{11}(t)}{a_{11}(t)}s11(t)=a11(t)h11(t)
此时我们需要判断s11(t)s_{11}(t)s11(t)是否为纯调频函数（纯调频函数振幅恒为 1，且−1≤s11(t)≤1−1≤s_{11}(t)≤1−1≤s11(t)≤1。若a12(t)a_{12}(t)a12(t)是s11(t)s_{11}(t)s11(t)函数的包络估计函数，则a12(t)≡1a_{12}(t)\equiv1a12(t)≡1），如果不是纯调频函数则返回步骤(1)对s11(t)s_{11}(t)s11(t)重复以上迭代过程，直到得到一个纯调频信号s1n(t)s_{1n}(t)s1n(t)，则有：
h11(t)=x(t)−m11(t)h12(t)=s11(t)−m12(t)⋮h1n(t)=s1(n−1)(t)−m1n(t)h_{11}(t)=x(t)-m_{11}(t) \\ h_{12}(t)=s_{11}(t)-m_{12}(t) \\ \vdots \\ h_{1n}(t)=s_{1(n-1)}(t)-m_{1n}(t)h11(t)=x(t)−m11(t)h12(t)=s11(t)−m12(t)⋮h1n(t)=s1(n−1)(t)−m1n(t)
5、将整个迭代过程中产生的所有局部包络函数相乘，得到包络信号a1(t)a_1(t)a1(t)：
a1(t)=a11(t)a12(t)⋯a1n(t)=∏q=1na1q(t)a_1(t)=a_{11}(t)a_{12}(t) \cdots a_{1n}(t)=\prod_{q=1}^n a_{1q}(t)a1(t)=a11(t)a12(t)⋯a1n(t)=q=1∏na1q(t)
6、原始信号的第一个PFPFPF分量即为包络信号a1(t)a_1(t)a1(t)和纯调频信号s1n(t)s_{1n}(t)s1n(t)的乘积：
PF1(t)=a1(t)s1n(t)PF_1(t)=a_1(t)s_{1n}(t)PF1(t)=a1(t)s1n(t)
7、从原始信号x(t)x(t)x(t)中将PF1(t)PF_1(t)PF1(t)分量分离出来，并且得到的新信号u1(t)u_1(t)u1(t)作为一个新的原始信号，重复步骤(1)~(6)并且进行kkk次循环，直至uk(t)u_k(t)uk(t)为一个单调函数为止。
u1(t)=x(t)−PF1(t)u2(t)=u1(t)−PF2(t)⋮uk(t)=uk−1(t)−PFk(t)u_{1}(t)=x(t)-PF_{1}(t) \\ u_{2}(t)=u_{1}(t)-PF_{2}(t) \\ \vdots \\ u_{k}(t)=u_{k-1}(t)-PF_{k}(t)u1(t)=x(t)−PF1(t)u2(t)=u1(t)−PF2(t)⋮uk(t)=uk−1(t)−PFk(t)
经过多次循环迭代的分解之后，原始信号最终被分解成kkk个PFPFPF分量和一个余量uk(t)u_k(t)uk(t)之和的形式，即：
x(t)=∑p=1kPFp(t)+uk(t)x(t)=\sum_{p=1}^kPF_p(t)+u_k(t)x(t)=p=1∑kPFp(t)+uk(t)

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