Young氏双缝干涉实验近似公式推导的传统谬误
背景
一直不爽的教材里的“近似”，不但中学教材里面有，大学教材里面也有。我的所谓“不爽”，主要是对公式的“近似”的属性不满，觉得科学规律或定理都应该是严格解析、分毫不爽的；但是事实往往是，实际科学实验中不但有误差，理论上大部分公式取近似也往往是合理的。
案例
这里先说中学物理教材里面讲波动光学中的“双缝干涉”时候的一种近似。
其实写这个案例之前，我的本意是推导一遍、复习一下；我读中学的时候一直觉得这个推导不好记，因为它的好多假设在我看来都不合理，要记住一个不合理的东西、而且把它当真，在我看来实在有难度。
数十年没有专门从头看Young’s double slit interference实验中用到的数学公式的推导过程，都有些遗忘了；所以，从新再来推导杨氏双缝干涉实验中用到的近似公式，——本以为推导过程中最为精妙和值得学习的地方主要在于取近似的时机和手法，因为我老是记不住——可是自己一推导居然发现，教材中对近似公式的推导，可能有逻辑问题。
（下图是一位高中学生用自己的Android手机拍的）
于是带着藐视初等数学推导的态度，尝试brute-force推导，找到一种看上去合理的、纯粹“初等”的推导。（我习惯于把这种费力、不讨巧的笨办法都叫做brute-force; 然而之前碰到一个矩阵证明有关的复杂问题，请教中科院自动化所一位年长的博导，两三天后收到一份 LaTeX\LaTeXLATEX 版的详细解答，用的办法就是我一直所谓的brute-force方法！佩服之余，也很为自己汗颜，因为如果我态度端正一些本来还是有希望独立完成的）
我发现，杨氏双缝干涉实验中近似公式的推导，本来是完全可以有以下优点的，但是却走了一条歧路；我说的好的推导应该是这样的：
- 它不应遗漏本该包含的关键假设、近似条件；
- 它使用的假设、近似的个数更少、更简洁；
- 它没有使用明显不合理的假设、近似条件。
教材中可能错误的推导方法
理论上在屏幕上光程差 δ\deltaδ 是波长λ\lambdaλ 整数倍的情况下产生干涉叠加，干涉条纹到中心位置的距离 xxx 的近似公式的推导。这是中学物理实验中用双缝干涉法测单色光波长的主要理论依据。
这么多的“近似”，而且据说近似的原理要等学了**“高等数学”**之后才能明白，这让人有些不服 (现在手头的教材是，人教版高中物理、选修3-4， 2007年4月第2版，版次跟我当年学的教材不同，但是推导方法相似)。
上面的有些假设，比如 x>​​>dx\gt\!\!\gt dx>>d，本身是未必合理的，但根据教材中的推导方法却是必须的；有些近似把光程差的结果放大（比如 dsinθd\sin\thetadsinθ)，有的近似把光程差的结果缩小（剩下的两个近似都是这样的效果），它们综合起来的效果刚好跟想要的结果碰巧重合了而已，符合辩证法里的“否定之否定”、或者说“错上加错和一错再错”就是正确的道理？这种中外都在使用的教法已经沿用了好多年了，估计还要一直错下去。
我于是在想，如果这是个问题，黑锅到底是中国的还是外国的呢？于是就搜索了一下英文版的文献和资料，结果发现，这个让人怀疑的推导方法可能在国外教材中就一直沿用，然后被照搬了：
http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/phyopt/slits.html
有意思的是，上面这个示意图还知道 θ\thetaθ 和 θ′\theta'θ′ 实际上是不一样的，需要作一次近似假设(从图上的说明看，假设也用错了)；下面这个来自某”大学物理“(college physics，2017年第11版)的教材中的示意图，直接把两者混淆、混为一谈了。
这里上图的两个 θ\thetaθ 近似相等的假设跟 y=x>​​>d2y=x\gt\!\!\gt \dfrac{d}2y=x>>2d 一样不合理。不过大家都这么玩。
关键是各种假设的合理性、“一种近似”跟“另一种近似”之间一致性，是不是足够好；否则，就算碰巧得到一个好用的结果，如何让人信服？
也许应该这样推导
这里写一个不用高等数学知识的、自洽的推导干涉条纹位置 xxx 近似公式的方法。
如果把近似的步骤放在最后，结果可以这样，只是要求解一个同解的关于 xxx 的“一元二次”方程而已：
有网友说上图有错误，漏了平方，我2019年4月21日修改更新了下：
先用两个勾股定理，表示出 r1r_1r1、r2r_2r2 两个光程，相减得到光程差 δ\deltaδ， 它是波长 λ\lambdaλ 整数倍的时候达到极亮条纹：
r2−r1=L2+(x+d2)2−L2+(x−d2)2=k⋅λ\color{blue}{r_2-r_1=}\sqrt{L^2+\left(x+\dfrac{d}2\right)^2}-\sqrt{L^2+\left(x-\dfrac{d}2\right)^2}=k\cdot \lambdar2−r1=L2+(x+2d)2−L2+(x−2d)2=k⋅λ
进行一系列同解等价变换，先移项：
L2+(x+d2)2=k⋅λ+L2+(x−d2)2\sqrt{L^2+\left(x+\dfrac{d}2\right)^2}=k\cdot \lambda+\sqrt{L^2+\left(x-\dfrac{d}2\right)^2}L2+(x+2d)2=k⋅λ+L2+(x−2d)2
两边同时平方：
L2+(x+d2)2=k2λ2+L2+(x−d2)2+2k⋅λL2+(x−d2)2L^2+\left(x+\dfrac{d}2\right)^2=k^2\lambda^2+L^2+\left(x-\dfrac{d}2\right)^2+2k\cdot\lambda\sqrt{L^2+\left(x-\dfrac{d}2\right)^2}L2+(x+2d)2=k2λ2+L2+(x−2d)2+2k⋅λL2+(x−2d)2
整理并把带根号的项单独放在右侧：
2xd−k2λ2=2k⋅λL2+(x−d2)22xd-k^2\lambda^2=2k\cdot\lambda\sqrt{L^2+\left(x-\dfrac{d}2\right)^2}2xd−k2λ2=2k⋅λL2+(x−2d)2
两边再取平方得到关于xxx的一元二次方程仅含二次型和常数项：
x2(4d2−4k2λ2)=4k2λ2L2+d2k2λ2−k4λ4x^2\left(4d^2-4k^2\lambda^2\right) =4k^2\lambda^2 L^2+d^2k^2\lambda^2-k^4\lambda^4 x2(4d2−4k2λ2)=4k2λ2L2+d2k2λ2−k4λ4
所以得到：
x=±k⋅λ⋅4L2+d2−k2λ24d2−4k2λ2x=\pm k\cdot\lambda\cdot\sqrt{\dfrac{{\color{red}{4 L^2}}+d^2 -k^2\lambda^2}{\color{red}{4d^2}-4k^2\lambda^2}}x=±k⋅λ⋅4d2−4k2λ24L2+d2−k2λ2
下面只做 近似，当 kkk 绝对值不是很大的时候
(之后应该能发现，这意味着偏离屏幕中心越远、近似公式误差越大；但是在教材推导的假设中不能体现这一点)：
当 kkk 值不是很大时，在屏幕中心附近的适当范围内：
分母： 因为d>​>λd\gt\!\gt\lambdad>>λ，所以 4d2−4k2λ2≈4d24d^2-4k^2\lambda^2\approx 4d^24d2−4k2λ2≈4d2，
分子：因为L>​>d>​>λL\gt\!\gt d\gt\!\gt\lambdaL>>d>>λ，所以 4L2+d2−k2λ2≈4L24 L^2+d^2 -k^2\lambda^2\approx 4L^24L2+d2−k2λ2≈4L2，
从而： x≈±k⋅λ⋅Ldx\approx \pm k\cdot\lambda\cdot\dfrac{L}{d}x≈±k⋅λ⋅dL
分析讨论
回到前面对推导过程是否合理而设定的几个标准：
- 它不遗漏结果中本应包含的关键假设，kkk太大时，近似公式的误差会增大，这跟实验是相符的，远离屏幕中心的时候，光程差绝对值增大，但是误差也增大（当然，实际中可能还有衍射强度、狭缝宽度等因素）；但教材中目前的推导遗漏了这样的前提或假设，无法体现这样一个使用近似公式的前提条件；
- 它使用的假设、近似的个数更少、更简洁；明显可以看到，第二个推导用的假设最少，只有 L>​>d>​>λL\gt\!\gt d\gt\!\gt\lambdaL>>d>>λ：
- 它没有使用明显不合理的假设：比如推导的结果应该在 x∈[0,+∞)x\in[0,+\infty)x∈[0,+∞) 都适用，靠近屏幕中心附近精度应该更好，但是在确定 tanθ≈xL\tan\theta\approx \dfrac{x}{L}tanθ≈Lx 的时候，经典的教科书中的推导方法却实际上假设了 x>​​>dx\gt\!\!\gt dx>>d，这意味着 导出的结果对于 xxx接近0的范围内反而不适用，这是不合理的。
看一个实际实验中可能采用的典型的 L,  d,  λL, \;d, \;\lambdaL,d,λ 取值的组合，帮助理解下“远大于” >​>\gt\!\gt>> 符号的含义：
{L=1m=1000mmd=2mmλ=500nm=5×10−4mm\left\{\quad\begin{array}{crrr} L=1{\rm m}&=&1000&{\rm mm}&\\ d&=&2&{\rm mm}&\\ \lambda=500{\rm nm}&=&5\times 10^{-4}&{\rm mm}& \end{array}\right.⎩⎨⎧L=1mdλ=500nm===100025×10−4mmmmmm
一个500倍，一个2000倍，当kkk的值不是太大(光程差对应的周期数不是太多)的时候，取近似对有效数字的影响的确小： 即使 k=20k=20k=20 仍有100倍 d/λd/\lambdad/λ 比值，取近似的时候所涉及的它们平方的比值仍有10000倍之差距。
之所以这里直接指认中学教材里对干涉条纹位置的近似公式的推导方法是错误的，在于以下对比：自己今天实际动手用初等方法（即上述第二种）推导之后，发现无须高等数学、无须过度假设也可以得到正确的结果；而国内外教材中迄今为止常用的第一种推导方法、虽然大同小异，但都绕不开必须引入的不合理的假设。
——从逻辑上讲，结论正确、并不能说明过程也一定对。
第三种推导的可能及其所用假设
有没有其它可能的初等的推导方法？当然有。
注意到：r22−r12=(L2+(x+d2))−(L2+(x−d2))=2  x⋅dr_2^2-r_1^2=\left(L^2+(x+\dfrac{d}2)\right)-\left(L^2+(x-\dfrac{d}2)\right)=2\;x\cdot dr22−r12=(L2+(x+2d))−(L2+(x−2d))=2x⋅d
∴(r2−r1)⋅(r2+r1)=2  x⋅d\therefore (r_2-r_1)\cdot(r_2+r_1)=2\;x\cdot d∴(r2−r1)⋅(r2+r1)=2x⋅d
∴2  x⋅d=δ⋅(r2+r1)=k⋅λ⋅(r2+r1)\therefore 2\;x\cdot d=\delta \cdot (r_2+r_1)=k\cdot\lambda\cdot (r_2+r_1)∴2x⋅d=δ⋅(r2+r1)=k⋅λ⋅(r2+r1)
∴x=k⋅λ⋅r2+r12⋅d≈k⋅λ⋅2⋅L2⋅d=k⋅λLd\therefore x=k\cdot\lambda\cdot\dfrac{r_2+r_1}{2\cdot d}{\color{red}\approx}k\cdot\lambda\cdot\dfrac{2\cdot L}{2\cdot d}=k\cdot\lambda\dfrac{L}{d}∴x=k⋅λ⋅2⋅dr2+r1≈k⋅λ⋅2⋅d2⋅L=k⋅λdL
所用到的唯一的一个近似步骤是把 :
r1+r2=L2+(x+d2)2+L2+(x−d2)2r_1+r_2=\sqrt{L^2+\left(x+\dfrac{d}2\right)^2}+\sqrt{L^2+\left(x-\dfrac{d}2\right)^2}r1+r2=L2+(x+2d)2+L2+(x−2d)2
近似地缩小为 2⋅L2\cdot L2⋅L而已。这里假设一个存疑之处可能在于，假设条件中包含了未知数 xxx，是否合理？ 即要求：
L>​>∣x+d2∣,L>​>∣x−d2∣L\gt\!\gt \left|x+\dfrac{d}2\right|,\quad L\gt\!\gt\left|x-\dfrac{d}2\right|L>>∣∣∣∣x+2d∣∣∣∣,L>>∣∣∣∣x−2d∣∣∣∣
第一个假设意味着包含了， L>​>x,L>​>dL\gt\!\gt x,\quad L\gt\!\gt dL>>x,L>>d。关于xxx 的假设是否能用来说明 kkk 也不能太大、毕竟作假设的时候 xxx 未知？此外，d>​>λd\gt\!\gt\lambdad>>λ算不算遗漏？——如果套用三个标准，看上去这个推导方法也不理想，但是把 xxx 近似公式作等价变换则能够发现，它所涉及的假设跟前面的同出一辙，算是等价的。唯一遗憾的一点是把未知的 xxx 纳入假设之中，合理性有阴影。这两种方法跟教材中方法不同的共同点是， 跟所谓 θ\thetaθ 并无关系，无须额外的假设。
不过回到我重新推导这个近似公式的初衷，难道不觉得物理学中的近似其实都很无厘头吗？明明只是近似，但是涉及到的地方都拿它严格来用。比如这个干涉条纹位置的公式，跟这个有关的很多后续各种推理实际上都基于这里的“近似”的推导，基于此而得到的结果原来也都不过是“近似”。 ——所以说，物理学中的很多”科学性、合理性“其实是有那么一点点坑爹的你造吗？我犹豫：自己还要不要继续迷信下去呢？
此外，“纠结”的感受来自当年的一道逻辑上有问题的、跟双缝衍射有关的高考题。考场上我发现一道多项选择题有逻辑上的歧义性，某个选项如果从逻辑无瑕疵的角度是要选上的，而从中学物理解题的思维习惯上看是不选的。——我选择了服从自己的良心，对答案的时候发现自己的良心被黑了。而且那个时候沉浸在后高考的巨大情绪之中，也其实上诉无门，一直埋在我心里。——同时，也基于年复一年、对这样一个事实逐渐的领会：不论编写教材，还是出高考试题，这类过程的参与者都会犯各种错，然而纠错的机制并不完善。
结论
我表达的意思只有一个：我找到的这个推导方法看起来是最合理的、而教材中的推导看起来很垃圾。我还为它定制了一套评价标准。
世界上也许并没有正确的道理，只要相信的人多了，一个“道理”就看上去貌似合理或正确了，这跟“道理”本身是正确的还是胡搅蛮缠的并无联系。这是“迷信”类的信仰已经能被证伪、仍有广大受众拥趸一样，看似好笑、实则属实。
——如果纠结于少数人自以为正确的道理而浪费时间去辩论，其实是荒谬的。回到本文讨论的同一近似公式的不同推导方法的选择问题，辩论孰是孰非其实是浪费时间和无意义的，选择适合自己的方法作为自己记忆之用即可：反正教材是这么用的，即使你用了又有反对者，让他们找写教材的人讲道理去即可。
在实际的计算能力已经比以往大大增强了的今天，由于有计算机和各种辅助计算工具，即使不作这种近似处理，而是直接用
k⋅λ=L2+(x+d2)2−L2+(x−d2)2k\cdot\lambda=\sqrt{L^2+\left(x+\dfrac{d}2\right)^2}-\sqrt{L^2+\left(x-\dfrac{d}2\right)^2}k⋅λ=L2+(x+2d)2−L2+(x−2d)2
计算起来也没有太大的问题。
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