[CGAL]建立一个正四面体

前提知识：多面体表面

多面体表面是通过点（vertices）、边（edges）、没有洞的面（facets）入射关系（incidence relationship）表示的。属于二维可定向流形（简单来说是分里面和外面的，莫比乌斯环属于不可定向流形）的多面体表面可以通过半边（halfedge）来存储这些结构。

所谓半边，是指构成多面体表面每条边的两条方向相反的半边。

如上图所示，多面体的每一个面（facets）是由一串有顺序的循环的半边定义的，这些半边是该面的边缘。

在三维空间中，多面体表面是一个封闭的表面，这要求构成多面体的面不可以有洞。一个洞周围的半边被称为border halfedge，border halfedge是没有incident facet的（也就是面的某条半边没有对面的那条半边）。一条边是border halfedge当且仅当它的其中一条halfedge是border halfedge。因此，如果一个表面不含border halfedge，那它就是封闭的，至少需要两个其他的面与之相邻。

人为规定，从多面体的外部观察，围绕面的半边按照逆时针排列，而这就意味着点周围的半边是按照顺时针排列的。

代码：

//构建一个正四面体，以off格式输出到屏幕并写入off文件#include <CGAL/Simple_cartesian.h>#include <CGAL/Polyhedron_3.h>#include <iostream>#include <fstream>typedef CGAL::Simple_cartesian<double>               Kernel;typedef Kernel::Point_3                              Point_3;typedef CGAL::Polyhedron_3<Kernel>                   Polyhedron;typedef Polyhedron::Facet_iterator                   Facet_iterator;typedef Polyhedron::Halfedge_around_facet_circulator Halfedge_facet_circulator;int main() {    /*--step 1. 建立正四面体--*/    //设置四面体的4个顶点，类型为Point_3(const)    Point_3 p(0.0, 0.0, 0.0);//点（0.0，0.0，0.0）    Point_3 q(1.0, 0.0, 0.0);//点（1.0，0.0，0.0）    Point_3 r(0.0, 1.0, 0.0);//点（0.0，1.0，0.0）    Point_3 s(0.0, 0.0, 1.0);//点（0.0，0.0，1.0）    //建立多面体变量P    Polyhedron P;    //从点p,q,r,s构建一个四面体，返回入射顶点初始化为p的四面体的半边。    P.make_tetrahedron(p, q, r, s);    /*--step 2. 准备输出--*/    //将IO流std::cout的格式设置为ascii码    CGAL::set_ascii_mode(std::cout);    //step 2.1 输出到屏幕    //OFF文件格式    /*--------------------------------------------------------------------------------------------------        OFF文件全是以OFF关键字开始的ASCII文件。        下一行说明顶点的数量、面片的数量、边的数量。边的数量可以安全地省略。        顶点按每行一个列出x、y、z坐标。        在顶点列表后，面片按照每行一个列表，对于每个面片，顶点的数量是指定的，接下来是顶点索引列表。        例如：        OFF        顶点数 面片数 边数(总是0)        x y z        x y z         ...        n个顶点 顶点1的索引 顶点2的索引 … 顶点n的索引（顶点索引从0开始）        ...    ----------------------------------------------------------------------------------------------------*/   //输出关键字OFF，顶点数，面数，边数（0）    std::cout << "OFF" << std::endl << P.size_of_vertices() << ' '        << P.size_of_facets() << " 0" << std::endl;    //将多面体P点序列p,q,r,s连续（iterator）写入（std::copy）输出流（std::ostream）中，并打印在屏幕上    std::copy(P.points_begin(), P.points_end(),        std::ostream_iterator<Point_3>(std::cout, "\n"));    //输出每个面的顶点索引列表    for (Facet_iterator i = P.facets_begin(); i != P.facets_end(); ++i) {//迭代所有面        Halfedge_facet_circulator j = i->facet_begin();//围绕面的半边        CGAL_assertion(CGAL::circulator_size(j) >= 3);//使用断言检查每个面至少是三角形（有三条半边）（没有洞）        std::cout << CGAL::circulator_size(j) << ' ';//输出面的顶点数        do {            std::cout << ' ' << std::distance(P.vertices_begin(), j->vertex());//通过计算两个迭代器间的距离（中间有多少个元素）计算点索引号        } while (++j != i->facet_begin());//一个面的循环结束        std::cout << std::endl;    }//多面体循环结束    //step 2.2 输出到文件    //文件指针F    std::ofstream F;    //使用写方式创建并打开文件regular_tetrahedron.off        F.open("data/regular_tetrahedron.off");    //输出关键字OFF，顶点数，面数，边数（0）    F << "OFF" << std::endl << P.size_of_vertices() << ' '        << P.size_of_facets() << " 0" << std::endl;     std::copy(P.points_begin(), P.points_end(),        std::ostream_iterator<Point_3>(F, "\n"));    for (Facet_iterator i = P.facets_begin(); i != P.facets_end(); ++i) {        Halfedge_facet_circulator j = i->facet_begin();        CGAL_assertion(CGAL::circulator_size(j) >= 3);        F << CGAL::circulator_size(j) << ' ';        do {            F << ' ' << std::distance(P.vertices_begin(), j->vertex());        } while (++j != i->facet_begin());        F << std::endl;    }    //关闭文件    F.close();    //程序结束    return 0;}

结果：

输出：
使用meshlab查看off文件：

参考

CGAL文档

https://doc.cgal.org/latest/Polyhedron/index.html

一位好心人的翻译

https://www.douban.com/note/545941784/

关于OFF文件格式

https://blog.csdn.net/A_L_A_N/article/details/84874463

P.S. 我的公众号

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