计算机学报CHIN.pdf

第22卷 第7期 1999年7月 计 算 机 学 报 CH I N ESE J1COM PU TERS Vol 22 No 7 July 1999 曲线曲面的形态算法及应用 刘文予 万 菲 朱光喜 华中理工大学电信系图像信息处理与智能控制开放实验室 武汉430074 本文1998208201收到 修改文1999202223收到 本课题得到国家自然科学基金 编号69672014 资助 刘文予 男 1963年生 副教授 主要 研究方向为计算机图形学 计算机视觉 多媒体信息处理 万 菲 女 1976年生 获硕士学位 现在美国攻读博士学位 主要研究领域为 多媒体通信 朱光喜 男 1945年生 教授 博士生导师 主要研究领域为多媒体通信 计算机图像图形处理 CSCW 数字电视 摘 要 从积分几何中的概念出发 证明了凸体形态和运算的一个重要性质 F S u F A u F B u 从而将 两物体的形态和归结为法矢相同的点集的形态和 并提出法矢球的概念 将物体表面各点的法矢顺序对应至球 即 得到该物体的唯一法矢球表示 通过对法矢球的合并 则得到两物体的形态运算结果 在理论上统一了二维 三维 实体的形态运算 并给出二维 三维曲线 曲面的具体形态算法 此外还给出曲线 曲面形态算法的具体应用 如扫 成曲面造型 字型合成 非刚体运动的广义内插等 关键词 形态学 法矢球 法矢圆 凸分析 分类号 TP391 CURVE AND SURFACE SMORPHOLOGY ALGORITHM AND ITS APPL ICATI ONS L I U W en2Yu WAN Fei ZHU Guang2Xi Open L aboratory ofIm age Inf orm ation P rocessing and Intelligent Control D epartm ent of E lectronics and Inf orm ation Eng ineering H uazhong U niversity of S cience and T echnology W uhan430074 Abstract In this paper the i mportant property of convex object morphology addition is proved thatF S u F A u F B u based on integral geometry then the two objects morphology operator can be calculated by through the two point sets M inkow sky addition w hich have same normal vector The concept of vector sphere is provided every point on a sphere has an only nor2 mal vector direction For any vector in Euclid space there exists a unique correspondent point in the sphere that means the point s normal vector has the same direction as in Euclid Correspond every point s normal vector on an object s surface to a sphere w hich keep their relative position not changed the morphology addition of two objects can be si mplified as the combination of two vector sphere a computational model is presented w hich unifies the morphology addition sub2 traction of 3D objects in theory Themorphology addition algorithm of 2D 3D curves and surfaces is also provided and the application of the 2D 3D curves and surfaces morphology operators is given such as sw eep surface modeling font composition and non2rigid body motion interpolation Keywords M orphology normal vector sphere normal vector circle convex analysis 1 引 言 数学形态学最初用于二值图像的形态变换 以 获取图像的形态参数和结构参数来描述图像对应的 物理量 随后发现形态运算具有强的几何选择特性 和通过积分几何理论可间接获取图像的几何参数的 能力 数学形态学已成为图像处理领域的一个重要 1995 2004 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co Ltd All rights reserved 分支 形态运算作为欧氏空间中的集合运算 并没有 区分离散集或连续集 理论上而言 它应也适用于二 维 三维空间中连续物体的处理 Lozano2Perez提 出了实现两凸多面体形态差的算法 1 当两凸多面 体的顶点数均为O n 时 算法复杂度为O n2logn Ghosh 2 提出了二维 三维物体形态算子的算法 在 随后的论文 3 中他描述了一个算法 实现了以闭合 曲线为边界的两个二维平面区域的形态和 Ghosh 在文献 4 中探讨将形态算子用于形状描述的可能 性 他认为将形态和 差与粘合运算结合使用可完成 简单的建模 并且在文中从四个方面解释了这种想 法的起因 首先 形态和差运算具有明显的几何特 性 它们的膨胀 腐蚀性质使形状的描述更加自然 易于理解 其次 以三角形和直线段为基本形状 经 形态和与粘合算子处理可逼近二维平面中的任意图 形 在三维空间中可建立许多实体模型 第三 R n 上 的形态和是R 2n上的函数 因此三维实体易于用二维 图形甚至一维线段表示 使得形状描述非常简洁 第 四 形态算子是欧氏空间中定义的矢量运算 本身具 有几何 拓扑特性 因而比集合算子更适于实体建 模 Kaul和Rossignac 5 提出了实现两多面体形态 和的两种算法 一种适用于任意多面体 另一种针 对凸多面体 两种算法的复杂度均为O n1 n2 其 中n1 n2分别为两多面体的顶点数 随后 Ghosh 6 在原有算法基础上提出了一个二维多边形 三维多 面体形态和 差理论上统一的算法 通过引入 负 形状 形态和差被归结为一种运算 由于凸物体 可表示为纯 正 或纯 负 的物体 凹物体可表示 为正负物体之和 故算法在凸 凹物体的计算上也 得到统一 由于人们对计算机图形处理能力的要求不断提 高 仅依靠多边形或多面体已不能满足需求 曲线 曲面在三维造型 字体拟合等方面得到广泛运用 多 边形 多面体形态算法虽比较成熟完善 但它以点集 计算为基础的特性限制了它在曲线 曲面中的进一 步推广 因此 曲线 曲面的形态算法仍有待于进一 步地研究 本文提出矢量球的概念 将物体表面各点的法 矢顺序对应至球 即得到该物体的唯一法矢球表示 通过对法矢球的合并 则得到两物体的形态运算结 果 在理论上统一了二维 三维实体的形态运算 并 给出二维 三维曲线 曲面的具体形态算法 2 形态算子的基本原理 定义1 设E n 中的集合X 结构元素B为 E n 或其子空间E m 上的一个集合 则集合X关于 结构元素B的形态和 形态差分别定义为如下集合 X B x B x X x B x X X B x B x X 其中B x x b b B 即集合B关于原点对称 后沿向量x的平移 E n 中凸集的全体记为l E n 闭凸集的全体 记为l F 紧致凸集的全体记为l F 包含原点的 紧致凸集的全体记为l0 F 定义2 7 设X l0 F w为E n 中单位向 量 n 1 w 为以w为法线方向的 n 1 维超平面 n 1 w 将E n 分割成闭半空间R w 及开半空间 R w 两部分 使得R w X X R w X 则称超平面 n 1 w 为X的支持平面 R w 为X 的支持半空间 令 H X w d 0 n 1 w sup x w x X 其中d 0 n 1 w 表示原点到 n 1 w 的距离 x w 表示点x在过原点的半射线L w 上的投影点 xw到原点的距离 称H X w 为集合X的支持函 数 如图1所示 图1 凸集的支持函数 l0 F 中的紧致凸集X与其支持函数H X w 是相互唯一确定的 不同的X对应于不同的 H X w 反之亦然 定义3 设A为E 3 中凸体 na为A边界上一 点a的单位法矢 定义F A u 2 u A 即F A u 为A边界上法矢为u或平行于u的点的集合 等 价于F A u a 5A na u 由此定义可知 5A u E3F A u 907 7期刘文予等 曲线曲面的形态算法及应用 1995 2004 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co Ltd All rights reserved 中国科技论文在线 定理1 若A B为E 3 中的凸体 S A B 则有F S u F A u F B u 证 明 F A u a A a a u H A u F B u b B b b u H B u 则F A u F B u a A a a u H A u b B b b u H B u a A b B a b a u H A u b u H B u 令r a b 则 r u a b u a u b u F A u F B u r A B r r u H A u H B u r S r r u H S u F S u 证毕 推论1 若A B为E 3 中的凸体 S A B 则有 5S 5A 5B 该推论表明 凸体的形态和可化为边界的形态 和 即两凸体的形态和的边界等于两凸体的边界的 形态和 推论2 若A B为E 3 中的非凸体 S A B 则有F S u F A u F B u 推论3 若A B为E 3 中的非凸体 S A B 则有 5S u E3F S u 0 称该点为椭圆点 若K 0 称该点为双曲 点 若K 0 称该点为抛物点 3 1 二维法矢圆 定义6 设A为E 2 中简单闭合曲线 及其围 成的平面区域 上每一点a 当存在唯一法矢na 时 有单位圆C上的一点P与之对应 na np 当法 矢不唯一时 在na1到na2区间中单调增 单调减 变 化 有单位圆C上的一段弧R与之对应 R上各点的 法矢也在na1到na2区间中单调增 单调减 变化 由 此得到的单位圆称为A的法矢圆 设曲线 有分段连续的一阶导数 将曲线 分 段 使得每一段曲线 i上或者只含有逗留点 或者 不含逗留点 若 i上只含逗留点 则 i为直线段 各 点的相对曲率均为零 即 i上法矢保持不变 对应C 上一点 若 i上无逗留点 则各点的相对曲率同号 且不等于零 即 i上法矢在区间内单调变化 对应C 上一段单向圆弧 若 i的一阶导数不连续 则一阶 导数不连续处的点法矢不定 在一区间内连续可变 故对应C上一段单向圆弧 如图2所示 平面闭合曲线 由3条直线段E2 E3 E5和2条弧线段C1 C4组成 A是 及其包围 的内部区域 从V1点出发逆时针经过 上每一点 对每一点求其法矢并对应到法矢圆上 当回到V1时 即得到 的法矢圆 的一阶导数在V1 V3 V4 V5 点上不连续 在法矢圆上V1 V3 V4 V5均对应一 段圆弧 各段圆弧表示各顶点的法矢变化范围 的 一阶导数在C1 C4上是连续的 且不存在逗留点 因此C1 C4分别对应法矢圆上的一段圆弧 E2 E3 E5有固定的法矢方向 则它们在法矢圆上对应为一 个点 图2 法矢圆示意图 因此 法矢圆上共有3种情况 分别是 1 点 对应曲线中只含逗留点的一段曲线 即 一直线段 2 圆弧 对应曲线中一阶导数不连续的点 3 圆弧 对应曲线中不含逗留点的一段曲线 017 计 算 机 学 报 1999年 1995 2004 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co Ltd All rights reserved 中国科技论文在线 当平面曲线中包含除直线段外的可数个逗留点 时 在这些逗留点的两侧曲线的相对曲率异号 即两 侧曲线的法矢变化方向相反 此时对应的法矢圆不 再是一个单向圆 法矢有顺 逆时针运动 并且顺 逆 时针圆弧段在逗留点的法矢圆像上相交 如图3所 示 法矢圆上细实曲线段从P2开始逆时针转动450 角到达P1 粗实曲线段从P1顺时针转动90 角回到 P2 图3 含可数个逗留点的闭曲线的法矢圆 法矢圆上实曲 线段对应 粗实曲线段对应 简单多边形是一种特殊的平面简单闭曲线 多 边形的边是一段只含逗留点的曲线 顶点是一阶导 数不连续的曲线上的点 多边形的法矢圆由对应边 的法矢圆点与对应顶点的法矢圆弧组成 若顶点为 凸 则在法矢圆上对应逆时针的一段圆弧 若顶点为 凹 在法矢圆上对应顺时针的一段圆弧 直线段和开曲线的法矢圆视为退化的多边形或 闭曲线 它们的法矢圆是由若干段表示曲线的圆弧 表示直线段时圆弧退化为一点 与两段表示曲线 端点的半圆弧组成 3 2 三维法矢球 法矢球是在Gauss映射的基础上的扩展 定义7 8 设 E 3 取值于单位球面S X Y Z E 3 X 2 Y 2 Z 2 1 得到的映射N S 称为曲面 的Gauss映射 因为Gauss映射是定义在正则曲面上的 而形 态运算的曲面一般不是正则的 但可以分解为若干 正则曲面之并 因此首先将Gauss映射扩展到非正 则曲面 得到法矢球定义 然后在形态运算时再将曲 面分解为正则曲面之并 定义8 设A为E 3 中简单闭合曲面 及其围 成的空间区域 上每一点a 当存在唯一法矢na 时 有单位球S上的一点与P之对应 na np 当法矢 不唯一时 在 na1 na2 nak 区间中变化 k 3 有 单位球S上的k段曲线C1 C2 Ck围成的曲面片与 之对应 由此得到的单位球S称为A的法矢球 S也 称为A的球面表示 广义的Gauss映射 定理2 若 上没有抛物点 则它上面的点 和球面像上的点一一对应 设曲面 上有连续的二阶偏导函数 则曲面 上每一点有唯一确定的法矢 根据定理2 将曲面分 割为不含抛物点的曲面片或只含抛物点的曲面片 然后再将只含抛物点的曲面片分割为只含平点和不 含平点的曲面片 因此 可表示为 i i有4种情况 1 不含抛物点的曲面片 它的球面像为与它一 一对应的有相同法矢的点构成的球面片 曲面片的 边界曲线是一一对应的 2 只含非平点的抛物点的曲面片 即柱面或锥 面 它的球面像为一条曲线 曲线上的每一点对应于 柱面或锥面上一条母线上所有的点 3 只含平点的曲面片 即平面 它的球面像为一 点 4 空间三维开曲线的球面像为此开曲线的所有 法平面对应的点构成的球面片 剩余的球面片对应 开曲线的两端点 如果是闭曲线 则球面像为整个法 矢球 当曲面上出现法矢不确定的点时 对应球面像 上第5种情况 由于该点是若干曲面片的交点 它的 法矢在与它相交的曲面片的法矢之间变化 因此该 点的球面像为与它相交的几个曲面片的边界曲线围 成的球面片 这种情况可视为第一种情况的退化 定理3 若曲面片 上不含抛物点 则它的 边界曲线上没有逗留点 证明 设 的参数方程是X u v 曲面上 的任一曲线a t X u t v t 在a t 上一点P 有aP Xuu Xvv dN a N u t v t Nuu Nvv 若a t 是 的边界曲线 则a t X t 0 或 a t X t 1 或a t X 0 t 或a t X 1 t 当a t X t 0 时 dN a Nu 因为 上不含抛物点 故其上任意点N 0 N Nu Nv Nu 0 即a t X t 0 上无逗留点 同理可证其它3条边界曲线上也无逗留点 证毕 因此 围成曲面片的边界曲线的球面像曲线可 用 表示 为球面像曲线的起点的球 117 7期刘文予等 曲线曲面的形态算法及应用 1995 2004 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co Ltd All rights reserved 中国科技论文在线 坐标 为球面像曲线从起点到终点的法矢的 变化范围 图4为一个二阶偏导函数连续的曲面的法矢 球 其中S1 S3两个半球面的法矢球像也是两个半 球面 柱面S2的法矢球像是单位球上经过球心与x 轴垂直的圆弧 图4 二阶偏导函数连续的曲面的法矢球 多面体是一种特殊的闭合曲面 它只有法矢不 确定的顶点和法矢不确定的边以及只含平点的曲面 片组成 多面体上边的球面像是一以原点为圆心的 单位圆弧 它的法矢的球面像圆弧是以原点为圆心 半径为1 两端点分别为相邻两面球面像点的一段 圆弧 4 基于法矢圆 法矢球的形态 算法模型 4 1 基于法矢圆的形态和算法 根据F S n F A n F B n 和 n E3F S n n E3 F A n F B n 可知 平面上两曲线包 含区域的形态和可按如下方法实现 1 求出两曲线的法矢圆 2 将两法矢圆合并 并保持各法矢圆上点的相 对位置在合并后不变 对两法矢圆上每一法矢相同 点对应的曲线上的点集进行形态和 法矢圆合并情 况如下 1 两段表示曲线的圆弧的法矢相等 此时合并 是两段曲线的形态和 2 一段表示曲线的圆弧和一段表示点的圆弧 法矢相等 此时合并是一段曲线与一个点的形态和 即曲线的平移 3 两段表示点的圆弧的法矢相等 此时合并是 两点的形态和 即两点的矢量和 3 将2中求出的结果进行处理 只保留逆时针 运动的曲线所包围的区域 即两曲线包含区域形态 和的曲线 第2步中的法矢相同点对应的点集的形态和计 算的方法因点集的形式不同而不同 定理4 平面上相对曲率为kr1和kr2的两个圆 C1 C2包围的区域作形态和 求得的结果是一个相 对曲率为 1 1 kr1 1 kr2 的圆包围的区域 证明 设P Q分别为C1和C2上法矢相同的 两个点 它们的矢量表示分别为r1和r2 如图5所示 它们的切矢也相等 即 r1 r1 r2 r2 这两点的形态 和就是它们的矢量相加结果 为R r1 r2 图5 两法矢相同点的形态和 当 r1 0 r2 0时 r1 r1点和r2 r2 点法矢相同 因此这两点也可进行形态和 结果为 r1 r2 r1 r2 因为r i lim r 0 r 并且当 0时 r r 所以 R i li m r1 r2 0 3 r1 r2 lim r1 r2 0 r1 r2 r1 r2 r1 r2 1 r1 r2 即 kr3 1 1 kr1 1 kr2 证毕 由该定理可知 当两个逆时针圆形态相加时 形 态和的圆半径为两圆半径之和 当一个顺时针圆与 一逆时针圆形态相加时 形态和的圆半径为逆时针 圆半径减去顺时针圆半径 因为一阶导函数连续的曲线在其上每点均有一 密切圆 该密切圆与曲线是至少二阶切触的 因此有 下面的推论 推论4 两条一阶导函数连续的曲线作形态 和运算 结果为一条曲线 曲线上每一点是两条曲线 上法矢相同点的矢量加 并且该点的曲率满足 kr3 1 1 kr1 1 kr2 设平面曲线 217 计 算 机 学 报 1999年 1995 2004 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co Ltd All rights reserved 中国科技论文在线 1 p p u u1 u u2 2 q q v v1 v v2 且np u1 nq v1 np u2 nq v2 即两曲线端点处的法矢相同 求出两 曲线端点处的曲率kp u1 kp u2 kq v1 kq v2 因此两曲 线的形态和的边界C t 5 1 2 t1 t t2的 两端点处满足如下条件 C t1 p u1 q v1 C t2 p u2 q v2 KC t1 1 1 kp u1 1 kq v1 KC t2 1 1 kp u2 1 kq v2 且 nC t1 np u1 nq v1 nC t2 np u2 nq v2 在已知端点及其切线和曲率的情况下 可以用B izer 曲线进行拟合 即得到两曲线的形态和的边界C t 如图6所示 A为平面上一非封闭曲线 它可视 为一逆时针变化的正曲线与一顺时针变化的负曲线 的并 即A CA1 CA2 CA3 CA4 CA1 CA3 为正曲线 CA2 CA4为负曲线 B为一圆曲线 曲线 段CA1与半圆弧CB1的法矢变化范围相同 故计算 两曲线段的合并CA1 CB1 它是A B的组成部 分 同理需计算CA2 CB1 CA3 CB2 CA4 CB2 A曲线的两端点PA1 PA3分别与CB2 CB1 半圆弧的法矢变化范围相同 故计算PA1 CB2 PA3 CB1 它相当于半圆弧的平移 因此A B 由曲线段PA1 CB2 CA1 CB1 CA2 CB1 PA3 CB1 CA3 CB2 CA4 CB2顺序组成 图6 基于法矢圆的曲线形态和 4 2 基于法矢球的形态和差算法s 与法矢圆相似 当A B为空间中两闭合曲面 时 根据F S n F A n F B n 和 n E3F S n n E3 F A n F B n 可知 A B与A B可按如下方法实现 1 求出两曲面的法矢球 2 若求形态差 将B的法矢球反号 则B上各点 矢量变为负矢量 即 b 若求形态和 直接到第3 步 3 将两法矢球合并 并保持各法矢球上点的相 对位置在合并后不变 对两法矢球上每一法矢相同 点对应的曲面上的点集进行形态和 两法矢球合并 情况如下 1 两个球面片上的法矢相等 此时合并是两曲 面的形态和 2 球面片上的法矢至少有一点与表示平面的 一点法矢相等 此时合并是曲面与平面的形态和 3 球面片上的法矢至少有一点与球面曲线上 某点相等 此时合并是曲面与柱面或锥面的形态和 4 两个球面曲线上至少有一点法矢相等 此时 合并是两柱面或锥面的形态和 5 球面曲线上的法矢至少有一点与表示平面 的一点法矢相等 此时合并是柱面或锥面与平面的 形态和 6 两个表示三维曲线的球面片至少有一点法 矢相等 此时合并是空间两曲线的形态和 7 表示三维曲线的球面片与表示曲面的球面 片至少有一点法矢相等 此时合并是曲线与曲面的 形态和 4 将3中求出的结果进行处理 只保留法矢指 317 7期刘文予等 曲线曲面的形态算法及应用 1995 2004 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co Ltd All rights reserved 中国科技论文在线 向物体外部的部分 即两曲面包含区域形态和的曲 面 在三维空间中有如下定理 定理5 若A B两曲面在法矢相同的点P Q 主方向相同 主曲率分别为kP1 kP2 kQ1 kQ2 则A B的曲面在该点Z主方向保持不变 且主曲率kZ1 kZ2分别为 kZ1 1 1 kP1 1 kQ1 kZ2 1 1 kP2 1 kQ2 证明 设kP1 kQ1为A B两曲面在P Q点法 曲率的极大值 kP2 kQ2为P Q点法曲率的极小值 即kP2 kPn kP1 kQ2 kQn kQ1 因为Z P Q 则Z点各方向的法曲率kZn 1 1 kPn 1 kQn kZ1 1 1 kP1 1 kQ1 1 1 kPn 1 kQn kZn 1 1 kP2 1 kQ2 kZ2 所以kZ1 kZ2为Z点的主曲率 证毕 当A B为两个球时 kP kPn kP1 kP2 kQ kQn kQ1 kQ2 A B的结果是一个曲率为 1 1 kP 1 kQ 的球包围的区域 三维曲线形态和得到的结果是一个曲面 而不 是一条曲线包围的区域 形态和运算具有升维的性 质 即两个单参数表示的物体的形态和是一个双参 数表示的物体 如两条单参数曲线的形态和仍是单 参数曲线 两个双参数曲面的形态和仍是双参数曲 面 因此它们不存在升维特性 由形态和的定义可 知 两条曲线的形态和等于一条曲线沿另一条曲线 移动得到的轨迹 它等效于由具有公共端点的两条 边界曲线平移生成的曲面 设两条曲线分别为 p u q v 它们的控制顶点分别为Pi i 1 m Qj j 1 n 曲面s u v p u q v 则s u v 的控制顶点Si j Pi Qj i 1 m j 1 n 多面体是特殊的曲面 它由面 边 点构成 面 的球面像为一个点 边的球面像为过原点的圆弧 点 的球面像为曲面 则多面体的形态算法可简化 图7为两个多面体的形态和计算过程 法矢球 中的箭头所指的点表示多面体中的平面 图7 两多面体的形态和结果 5 应用及结论 5 1 扫成曲面造型 扫成曲面造型是自由曲面造型的一种重要手 段 用它可完成绝大多数自由曲面的造型 一个扫成 曲面可由一组轮廓线 一组脊线 轮廓线和脊线的相 对位置以及扫成规则确定 最简单的扫成曲面是一条轮廓线沿一条脊线平 行移动生成一张曲面 设轮廓线为P u 脊线为 B v 脊线不含逗留点 扫成曲面为S u v 则上述 过程可表示为S u v P u B v 一般的扫成曲面造型可用6个因素控制 轮廓 线P1 u P2 u 脊线B v 相对位置点O1 O2 扫 成规则R v 则扫成曲面为 S u v 1 R v P1 u B v O1 P2 u B v O2 R v 扫成曲面生成过程如下 1 首 先 将P1 u P2 u 移 至 脊 线 上 某 点 B v0 即P1 u B v0 O1 P2 u B v0 O2 2 然后计算两轮廓线按扫成规则变化至B v0 处的大小 分别为 1 R v0 P1 u B v0 417 计 算 机 学 报 1999年 1995 2004 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co Ltd All rights reserved 中国科技论文在线 O1 和R v0 P2 u B v0 O2 3 最后求出B v0 处合成的轮廓线方程 此处 轮廓线应具有P1 u 和P2 u 的几何特征 将前两 步的结果进行形态和即得扫成曲面 注意此扫成曲 面中轮廓线的方向始终保持不变 不随脊线的法线 变化 5 2 字形合成 汉字字形合成是汉字字形自动生成的一种方 法 它通过对两种或多种字形中的对应汉字的书写 风格进行合并 生成揉合了多种风格的新的字形 在 汉字轮廓描述方法中 一个汉字可被描述成多个闭 合曲线C1 t C2 t Cn t 设有两种字形F1和 F2 对于其中的某个特定汉字Ci 假定能用C1 t C2 t Cn t 和C 1 t C 2 t C n t 描述 那 么其中的Ci t 和C i t 可按如下方式合并 C new i t E rCi t 1 r C i t 其中E 表示形态和结果的边界 经过凸剖分 可解决汉字 合成中的病态问题 9 5 3 非刚体运动的广义内插 设非刚体的初态为A 经时间r从1变到0 达到 终态B 则在r 0 1 时刻的状态可描述为C r rA 1 r B 可以证明 C r 反映了A B间的 尺度 位置及形状变化 加上旋转因子 则可描述A B间的内插 为解决凹体及有孔情况 必须对A B 进行凸剖分并建立凸剖分子集的全局优化匹配 10 本文从积分几何中的概念出发 证明了凸体形 态和运算的一个重要性质 F S u F S u F B u 从而将两物体的形态和归结为法矢相同的 点集的形态和 在此基础上 提出了基于二维平面上 的法矢圆与三维空间中的法矢球的形态和方法 并 从理论上证明了方法的正确性 并给出曲线 曲面 多边形 多面体的统一算法 参考文献 1Lozano2Perez T W esleyM A An A lgorithm for planning colli2 sion2free paths among polyhedral obstacles Comm unications of A CM 1979 22 2 560 570 2Ghosh P K M udur S P The brush2trajectory approach to fig2 ure specification some algebraic solutions A CMT rans on Graphics 1984 3 1 110 134 3Ghosh P K A solution of polygon containment spatial plan2 ning and other related problem s using m inkow ski operations Computer V ision Graphics and Im age P rocessing 1990 49 1 1 35 4Ghosh P K An algebra of polygons through the notion of nega2 tive shapes ComputerV ision Graphics and Im age P rocessing Im age U nderstand ing 1991 54 1 119 144 5Kaul A Rossignac J Solid2interpolating deations con2 struction and ani mation of P IPs Computer and Graphics 1992 16 1 107 115 6Ghosh P K A unified computational framework for m inkow ski operations Computer and Graphics 1993 17 4 357 378 7任德麟 积分几何学引论 上海 上海科学技术出版社 1988 8卡尔莫 曲线和曲面的微分几何学 上海 上海科学技术出版社 1988 9刘文予 万 菲 朱光喜 基于形态学的新的汉字字型生成方法 计算机学报 1999 22 3 235 240 10刘文予 万 菲 朱光喜 一种全局优化的多边形变形方法 计算 机辅助设计与图形学学报 1999 11 2 129 133 517 7期刘文予等 曲线曲面的形态算法及应用 1995 2004 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co Ltd All rights reserved 中国科技论文在线