详解三道一维的动态规划算法题
来源:知乎
作者:单金折
前阵子写了两篇动态规划的文章
告别动态规划,连刷40道动规算法题,我总结了动规的套路
动态规划该如何优化?我总结了这些套路,以后优化就是分分钟
后面说要给大家讲解一些案例,不过一直没讲,由于前阵子手受伤了导致手不能运动,一直没给大家写文章,所以呢,我就找一些感觉还不错的文章供大家消费。
例1: 打家劫舍
动态规划思考步骤:
1、原问题:
在一条直线上,有n个房屋,每个房屋中有数量不等的财宝,有一个盗 贼希望从房屋中盗取财宝,由于房屋中有报警器,如果同时从相邻的两个房屋中盗取财宝就会触发报警器。问在不触发报警器的前提下,最多可获取多少财宝?例如 [5,2,6,3,1,7],则选择5,6,7
来源于LeetCode 198. House Robber
2 、子问题:
(1)、只考虑前两个房间时,谁大选谁
(2)、考虑第三个房间
如果偷第三个房间,则意味着第二个房间不投,也就是第三个房间值 + 第一个房间的宝藏数量
如果不偷第三个房间,则宝藏数量等于前两个房间宝藏数量
3、确认状态:
int [] nums; // 各个房间的宝藏数
int [] flags = new int [n]; // 记录各个房间有没有被偷,若flag = 0 则没偷, flag = 1 则偷了。
int [] dp = new int [n]; // dp[i]表示前i个房间偷到的最大宝藏数
4、初始状态:
第一个房间:
Condistion 1 :dp[0] = nums[0] ; flags[0] = 1;
Condistion 2 :dp[0] = 0; flags[0] = 0;
第二个房间:
Condistion 1 :when flags[1] = 1; dp[1] = nums[1];
Condistion 2 :whenflags[1] = 0; dp[1] = dp[0];
选 Condistion 1 还是 Condistion 2呢?比较 两种情况下dp[1]的大小
推广到前i个房间: (i>=2)when flags[i] = 1, dp[i] = nums[i] + dp[i-2]
when flags[i] = 0; dp[i] = dp[i-1]
5、状态转移方程:
dp[0] = nums[0];dp[1] = max(nums[0],nums[1]);for(int i = 2;i<n;i++) dp[i] = max(nums[i] + dp[i-2],dp[i-1])
6、代码实现
class Solution { public int rob(int[] nums) { if(nums.length == 0) return 0; int [] dp = new int[nums.length]; dp[0] = nums[0]; // 每次做数组判定时都需要做数组边界判定,防止越界 if(nums.length < 2) return nums[0]; dp[1] = (nums[0]>nums[1]) ? nums[0] : nums[1]; for(int i = 2;i<nums.length;i++) dp[i] = ((nums[i] + dp[i-2]) > dp[i-1]) ? (nums[i]+dp[i-2]) : dp[i-1]; return dp[nums.length-1]; }}
例2:最大子段和
动态规划思考步骤:
1、原问题
给定一个数组,求这个数组的连续子数组中,最大的那一段的和。
如数组[-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4] 的子段为:[-2,1]、[1,-3,4,-1]、[4,-1,2,1]、…、[-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4],和最大的是[4,1,2,1],为6。
示例:Input: int [] nums = [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4],Output: 6Explanation: [4,-1,2,1] has the largest sum = 6.
来源于LeetCode 53. Maximum Subarray
2、子问题
只考虑第一个元素,则最大子段和为其本身 DP[0] = nums[0]
考虑前两个元素,最大子段和为 nums[0],num[1]以及 nums[0] + num[1] 中最大值 设为DP[1]
考虑前三个元素,如何求其最大子段和?还是分为两种情况讨论,第三个元素在最后的字串内吗?
若第三个元素也包含在最后的字串内,则DP[2] = Max(DP[1]+nums[2] , nums[2])
3、确认状态
DP[i] 为 以nums[i]结尾的子段的最大最短和
例如 DP[1]则为以nums[1]结尾的最大字段和
4、初始状态
dp[0] = nums[0]
dp[1] = max(dp[0]+nums[1] , nums[1])
5、状态转移方程:
dp[i] = max(dp[i-1]+nums[i],nums[i])
6、解题代码:
public class lc53_MaximumSubarray { public int maxSubArray(int[] nums) { int len = nums.length; if(len == 0) return 0; int [] dp = new int[len]; dp[0] = nums[0]; int max = dp[0]; for (int i = 1; i<len;i++){ dp[i] = (dp[i-1]+nums[i] > nums[i]) ? dp[i-1]+nums[i] : nums[i]; if (dp[i]>max) max = dp[i]; } return max; }}
例3:找零钱
已知不同面值的钞票,求如 何用最少数量的钞票组成某个金额,求可 以使用的最少钞票数量。如果任意数量的已知面值钞票都无法组成该金额, 则返回-1。
示例:Input: coins = [1, 2, 5], amount = 11Output: 3 Explanation: 11 = 5 + 5 + 1Input: coins = [2], amount = 3Output: -1
来源于LeetCode 322. Coin Change
动态规划解题步骤:
将原问题拆分成子问题
已知什么?显而易见,钞票的金额都只需要其本身1张即可
如何在已知钞票的情况下构造出 金额X需要的最少钞票组合
确认状态
DP[0] - DP[amount] 表示构造金额amount需要的最小钞票数
确认边界状态(初始条件)
DP[coin] = 1 其他的都未知初始值设为 -1
例如coins = [1, 2, 5], amount = 11 已知 dp[1]、dp[2]、dp[5] =1
现在已知 DP[coin] 需要求出每一个DP[amount]
状态转移方程
dp[i] = min(dp[i-1], dp[i-2], dp[i-5]) + 1
解题代码:(java)
public int coinChange(int[] coins, int amount) { int len = coins.length; if (len == 0 || amount<0) return -1; if (amount==0) return 0; int [] dp = new int[amount+1]; for (int i = 0; i <= amount; i++){ dp[i] = -1; } for (int i = 0; i< len;i++){ if(coins[i] == amount) return 1; if(coins[i] < amount) dp[coins[i]] = 1; } // State Transfer Function for(int i = 1; i <= amount;i++){ for (int j = 0; j < len; j++){ if (i - coins[j] >= 0 && dp[i - coins[j]] != -1){ if (dp[i] == -1 || dp[i] > dp[i - coins[j]] + 1){ dp[i] = dp[i - coins[j]] + 1; } } } } return dp[amount]; }
总结
今天实例了三道一维的题,属于 leetcode 中 medium 级别的题吧,大家也可以根据题号去搜索练练手。
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