贝叶斯法则的一个例题

1、甲袋中有5只白球, 7 只红球;乙袋中有4只白球, 2只红球.取甲、乙两袋的概率相同, 现在任取一袋，从所取到的袋子中任取一球

(1)、发现所取袋子是甲，问此白球是从甲袋中取出来概率多少？

(2)、问此球是甲袋中白球的概率是多少？

(3)、发现是白球，问此白球是从甲袋中取出来概率多少？

解析：

首先看样本空间。一共有18个球。样本空间为18个点。代表着取到的每个球。
先求两种情况的条件概率。设事件A={取到甲袋中球}，事件B={取到乙袋中球}。且A+B=Ω.   事件C={取到白球}
(1)、    P(C|A) = P(取到白球|取到甲袋) = 5/12

(2)、   P(AC)=P(取到甲袋中的球并且是白球）=5/24

(3)、    P(C|B)=P(取到白球|取到乙袋) = 4/6

而由A+B=Ω，根据贝叶斯全概率公式

      P(C)=P(AC)+P(BC)=P(A)P(C|A) + P(B)P(C|B)=(1/2)(5/12) + (1/2)(4/6)=13/24

上式概率就是先验概率。

所以此白球从甲袋取出的概率为

  P(A|C)=P(取到甲袋中的球|取到白球）=P(AC)/P(C)=5/13

看到这里估计大部分人都看得懂，但是要解释上面式子的意思很多人可能忽略了。

设想一下如果从袋子中任取一球，所取的球并没有已知颜色，则从甲袋中取得白球的概率是P(AC),而现在因为已经知道了取出来的是白球，所有必须要除掉一部分概率，即除以任意袋取得白球的概率后方能得知此球是从甲袋取出来的。
。

归一化做法：

                   取甲1/2              取乙1/2

            取白5/12  取红7/12    取白2/3  取红1/3

所以所取白球在甲袋的概率为（5/12）/（5/12+2/3）=5/13

扩展练习(题2与题1区别是第一次取甲乙袋的概率是1/2，即取甲袋白球的中概率约束了一个1/2的概率）：


2、有9只白球，标记为甲的有5只，标记为乙的有4只；有9只红球，标记为甲的有7只，标记为乙的有2只；现在任取一只，从所取到的球中看到

(1)、发现是白球，问此标记甲是在白球上的概率是多少？(2)、问标记是白球上的甲的概率是多少？(3)、发现是标记甲，问此标记甲是在白球上的概率多少？

上式概率就是后验概率，另外P(C|A)为似然度。

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