FeynRules的上手使用1--介绍模型参数设置
FeynRules介绍
FeynRules是一个基于Mathematica的工具包，能够从拉氏量出发，构建费曼规则，生成高能粒子物理仿真计算所需的模型文件，例如散射截面蒙特卡洛模拟，暗物质计算等等。能方便地应用于各种超标准模型费曼规则的构建，极大地方便理论家。其一般作为仿真计算的第一步。这里是官方主页，同时可参考手册。构建自己的拉氏量模型，需要一些必要的信息和参数。
模型名和基本信息
这是包含模型名，作者的email，参考文献等等信息。模型被load的时候这些信息将会打印出来。
指标
拉氏量中的某些场会带两个指标，规范指标 α , ( N 2 − 1 ) \alpha ,(N^2-1) α,(N2−1)和洛伦兹指标 μ , ( 0 − 3 ) \mu ,(0-3) μ,(0−3)。定义模型的时候需要制定好这些指标。例如一个带指标 i 1 , i 2 , i 3 . . . i_1,i_2,i_3... i1,i2,i3...的场 φ i 1 , i 2 , i 3 . . . \varphi_{i_1, i_2,i_3...} φi1,i2,i3...被表示为 psi [ i n d e x 1 , i n d e x 2 , . . . ] \text{psi}[index1, index2, ...] psi[index1,index2,...]，指标被指定为 Index [ n a m e , i ] \text{Index}[name, i] Index[name,i],name为指标名，指标名可任意，不过指标还是遵循本身作用命名为对应名字：4矢量指标-(Lorentz)；4旋量空间-(Spin)；左/右手wyel表示-(Spin1 / Spin2)等，已经被内部定义好。
然后要指定指标长度，例如，色指标长度为3: IndexRange[ Index[Colour] ] = Range[3]；SU(2)群规范指标为3: IndexRange[ Index[SU2W] ] = Unfold[ Range[3] ]；SU(3)胶子场指标：IndexRange[ Index[Gluon] ] = NoUnfold[ Range[8] ]。这里的函数Unfold和NoUnfold有特点含义，Unfold为展开规范指标，NoUnfold则不展开。（参考手册）指标输入可以以更方便的形式，例如声称场第一指标为 L o r e n t z \mathbf{Lorentz} Lorentz,第二指标为 G l u o n \mathbf{Gluon} Gluon后，FeynRules会自动构建指标名：
G[mu, a] → G[Index[Lorentz, mu], Index[Gluon, a]] \text{G[mu, a]} \to \text{G[Index[Lorentz, mu], Index[Gluon, a]]} G[mu, a]→G[Index[Lorentz, mu], Index[Gluon, a]]
耦合参数
标量参数
拉氏量需要指定参数，例如耦合常数或者是质量参数等标量参数，模型参数可以被分为标量或者是多指标变量。在FeynRules中这被分为两部分列表。
这里参数是“冗余”的，例如强耦合常数 g s g_s gs，出现在拉氏量里； α s = g s 2 / 4 π \alpha_s = g_s^2/4π αs=gs2/4π，出现在实验中。指定一个即决定另一个。但是实验通常测量 α s \alpha_s αs，所以在FeynRules里 α s \alpha_s αs被称为 external \textbf{external} external ， g s g_s gs被称为 internal \textbf{internal} internal parameter。两者都需要指定，外部参数值为实数，内部为公式。要先指定外部，再指定内部参数。例子如下：
张量参数
拉矢量另外一些参数是张量例如酋矩阵、质量矩阵、CKM矩阵等等，它们被指定为一系列参数，并且默认指定为复数。例如CKM矩阵：
其被指定为内部参数，值由卡波比角确定。拉氏量中，指标需要为全缩并形式，即指标要重复两次，但是额外情况也被允许，例如3指标相同的求和，详情见手册。
粒子/场 的种类与参数
场指标是由自旋标记的，如 s p i n − spin- spin− 0，1/2，1，3/2，2等，需要被指定。
携带同样量子数但是质量不同的场被认为是“多重态”，能够更紧凑的写下拉氏量，例如典型的quark拉氏量：
粒子需要被指定名字和是否有反粒子，以及质量等其它参数。对于场不是自共厄的情况，共轭场会自动创建，只需使用 “fieldnamebar” 来使用。玻色子场的反粒子场对应它的厄米共厄，费米子场则对应 ψ ˉ = ψ † γ 0 \bar{\psi}=\psi^{\dagger} \gamma^{0} ψˉ=ψ†γ0。场的指标需要跟相应的对称性挂钩，洛伦兹和自旋指标对应庞加莱群，能被自动FeynRules设定不需要指定；但是色指标【SU(3)对称】和味指标【味对称性(假设)】需要指定。
除了SU(N)规范理论对称性带来的指标，剩下的U(1)或离散对称性被量子数“荷”所携带。另外指定粒子质量，质量可以是 internal \textbf{internal} internal parameter，例如Highs机制下 W , Z W,Z W,Z质量由对称性破缺决定。由于我们无法同时对角化质量矩阵和Yukawa矩阵，导致会有出现mass basic和favor basic的情况【取决于对角化谁】，一般希望对角化质量矩阵，而favor basic被认为是非物理的。FeynRules中也能够使用favor basic计算。另外就是对角化U(1) × \times ×SU(2)玻色子【 A , Z , W A,Z,W A,Z,W】质量矩阵出现weak mixing angle【温伯格角】能够被指定或是符号计算。在最后相互作用顶点计算时需要被替换【 B , W 1 , W 2 , W 3 → A , Z , W + , W − B,W^1,W^2,W^3 \to A,Z,W^+,W^- B,W1,W2,W3→A,Z,W+,W−】。
鬼子【Ghost，保证非阿贝规范不变的Faddeev-Popov ghost】和戈德斯通粒子【Goldstone，粒子获得质量的代价，戈德斯通定理】则可以指定与它们连接的gauge boson和scalar fields。
马约拉纳费米子【Majorana fermions 】则需要定义马约拉纳相，其定义为电荷共厄算符本征值的相位 ϕ \phi ϕ： λ c = C λ ˉ T = e i ϕ λ \lambda^c =C \bar{\lambda}^T=e^{i \phi}\lambda λc=CλˉT=eiϕλ。
外尔费米子【Weyl fermion】则需要指定它们的手性【chirality】。不过为了方便计算（卡西米尔trick），可以将二分量外尔表示转变为四分量狄拉克旋量表示。
超对称粒子及超场我不太懂，这里就略过。
总的来说，粒子定义类似如下：
V[1] == {
ClassName -> A,
SelfConjugate -> True,
Mass -> 0,
Width -> 0,
ParticleName -> “a”,
PDG -> 22,
PropagatorLabel -> “a”,
PropagatorType -> W,
PropagatorArrow -> None,
FullName -> “Photon”
},
这是一个光子的定义， = = == ==左边为一个实体，标记为1，花括号内为这个实体的描述，包括各项定义。其余参数的定义也采取类似形式。
规范群
场的相互作用结构一般由规范对称性给出。规范对称是指作用量在规范变换下不变。体现在拉氏量中就是协变导数/场强张量，这是模型需要指定的一点。规范群一般是简单或者半单李群，仍然以 实体 = = { 描述 } \textbf{实体}==\{\textbf{描述}\} 实体=={描述} 的方式来定义。例如下面定义了标准模型 U ( 1 ) × S U ( 2 ) × S U ( 3 ) U(1)\times SU(2)\times SU(3) U(1)×SU(2)×SU(3)规范群。
U ( 1 ) U(1) U(1)阿贝尓群能够指定“荷”【charge】 Y Y Y，能被用于验证 拉氏量/费曼规则 的荷守恒。
S U ( 2 ) , S U ( 3 ) SU(2),SU(3) SU(2),SU(3)等非阿贝尔群则需要被指定结构常数、生成元、和耦合常数，同时群表示需要被定义【基本表示/伴随表示】。常用的规范群FeynRules提供了内部定义，同时也能够解析计算。FeynRules不会区分生成的表示和对应的共厄表示，因为生成元是厄米的。复共厄表示只是把粒子变为反粒子，反粒子变为粒子而已（详情参考手册）。规范玻色子的信息由规范群给出（伴随表示下的规范指标，非阿贝尓群 N 2 − 1 N^2-1 N2−1个规范玻色子）。规范对称群构建之后，将会帮助构建场强张量和协变导数。
场强张量表示为： FS[A, mu, nu] \text{FS[A, mu, nu]} FS[A, mu, nu]（阿贝尔）或 FS[ A, mu, nu, a ] \text{FS[ A, mu, nu, a ]} FS[ A, mu, nu, a ]（非阿贝尔）。其中A为场名，mu、nu为洛伦兹指标，a为伴随表示生成元指标，分别对应 F μ ν , F μ ν a F _{\mu \nu},F^{a}_{\mu \nu} Fμν,Fμνa。定义协变导数则为 DC[phi, mu] \text{DC[phi, mu]} DC[phi, mu]，对应 D μ ϕ = ∂ μ ϕ − i g A μ a T a ϕ D_{\mu} \phi=\partial_{\mu} \phi-i g A_{\mu}^{a} T_{a} \phi Dμϕ=∂μϕ−igAμaTaϕ， T a T_a Ta对应基本表示的表示矩阵。
限制参数
一些参数会受到实验限制，不能取任意值；一些参数能够被指定为某些近似值使得计算简化，例如取对角的 CKM \text{CKM} CKM 矩阵：
这将会消除掉味变化的Yukawa项。这些限制能写在专门的 file1.rst \text{file1.rst} file1.rst 文件，能够装载模型（ LoadModel[ ] \text{LoadModel[ ]} LoadModel[ ]）后被装载（ LoadRestriction[ file1.rst, file2.rst, ... ] \text{LoadRestriction[ file1.rst, file2.rst, ... ]} LoadRestriction[ file1.rst, file2.rst, ... ]），在计算费曼规则时施加约束。这个过程是不可能，约束参数会一直被保持。
对于复制的模型，开始时，会选择特别的基准参数，一般会使许多参数为零，只留下几个相互作用作用。FeynRules能够识别出数值上为0的参数，并创建出对应的参数限制文件，命令为 WriteRestrictionFile[] \text{WriteRestrictionFile[]} WriteRestrictionFile[]。创建名为 ZeroValues.rst \text{ZeroValues.rst} ZeroValues.rst 的参数约束文件，这个文件能被装载以提高复杂模型的计算速度。
混合声明
FeynRules能够从拉氏量中推导粒子的质量谱（希格斯机制），并对角化质量矩阵。但是对于类似 kinetic mixing 机制下的额外 U ( 1 ) U(1) U(1)规范群等，需要手动指定 mixing 是如何实现的。例如对角化质量矩阵，mass basic 下的场的重新组合：
W μ + = W μ 1 − i W μ 2 2 , W μ − = W μ 1 + i W μ 2 2 W_\mu^+ = \frac{W_\mu^1-i W_\mu^2}{\sqrt{2}}, \ \ W_\mu^- = \frac{W_\mu^1+i W_\mu^2}{\sqrt{2}} Wμ+=2 Wμ1−iWμ2, Wμ−=2 Wμ1+iWμ2
其中 W i W^i Wi为 gauge basic 下的场，而 W + W^+ W+为 mass basic 下的场，它们之间只相差一个幺正变换。即一个矩阵乘法： MassBasis = Value . GaugeBasis \text{MassBasis = Value . GaugeBasis} MassBasis = Value . GaugeBasis，需要指定这个 Value \text{Value} Value 矩阵。对于前者 W i W^i Wi， gauge basic 下的场，我们一般称之为非物理的。在定义粒子mixing时一些无关指标例如自旋、色的可以省略，使用下划线表示一样。
有时候 mixing matrix 未知的情况下可以这样设定：
( A μ Z μ ) = U w ( B μ W μ 3 ) \left(\begin{array}{c} A_{\mu} \\ Z_{\mu} \end{array}\right)=U_{w}\left(\begin{array}{c} B_{\mu} \\ W_{\mu}^{3} \end{array}\right) (AμZμ)=Uw(BμWμ3)
其中 U w U_w Uw是一个幺正矩阵， B μ B_\mu Bμ代表 U ( 1 ) U(1) U(1)超荷玻色子场， W μ 3 W_\mu ^3 Wμ3则是第三个弱玻色子场，它们通过一个幺正矩阵转到质量基下，构成光子和 Z Z Z玻色子场。
经过混合声明的混合矩阵不能够在拉氏量中显式使用，想要拉氏量中使用需要一开始使用数值声明，例如前面声明 CKM \text{CKM} CKM矩阵那样。
有时候从 mass basic 转到 gauge basic 更为常见，实际测量也是在 mass basic 下，例如 CKM \text{CKM} CKM矩阵：
GaugeBasis = MixingMatrix . MassBasis d L 0 = V C K M ⋅ d L \text{GaugeBasis = MixingMatrix . MassBasis} \\ d_{L}^{0}=V_{\mathrm{CKM}} \cdot d_{L} GaugeBasis = MixingMatrix . MassBasisdL0=VCKM⋅dL
其中 d L d_L dL为左手down夸克，在质量基上的表示。这与上面 gauge basic 转到 mass basic 下只差个逆矩阵到关系。设定时可以将 Inverse \text{Inverse} Inverse 设为 True \text{True} True。
有时候“左手”跟“右手”的粒子 Mixing 并不相同，例如 Yukawa 项中，左手夸克是 S U ( 2 ) L doublets SU(2)_L \ \text{doublets} SU(2)L doublets 而右手夸克为 singlets \text{singlets} singlets. 能够被如下设置：
这是一个声明 down-type quark Mixing 的块。其中 QL为左手夸克和左手中微子构成的二重态，dR则是右手夸克单态，这为了尝试解释只存在左手中微子的问题。dq[1, _]的1代表夸克代数。
剩下则是费米子质量问题，在标准模型中， SU(2) L \text{SU(2)}_L SU(2)L 群下由二分量希格斯 doublet 的真空决定。把费米子拉氏量写成外尔二分量形式为：
m ψ ˉ ψ = m ( ψ ˉ R ψ L + ψ ˉ L ψ R ) ( ψ 1 − , … , ψ n − ) M ( χ 1 + ⋮ χ n + ) m \bar{\psi} \psi=m\left(\bar{\psi}_{R} \psi_{L}+\bar{\psi}_{L} \psi_{R}\right) \\ \left(\psi_{1}^{-}, \ldots, \psi_{n}^{-}\right) M\left(\begin{array}{c} \chi_{1}^{+} \\ \vdots \\ \chi_{n}^{+} \end{array}\right) mψˉψ=m(ψˉRψL+ψˉLψR)(ψ1−,…,ψn−)M⎝⎜⎛χ1+⋮χn+⎠⎟⎞
可以看出粒子和反粒子的手性是反过来的，我们对角化质量矩阵 M M M则得到对角元 m m m，即费米子质量，可以对正反费米子场通过施加两个“旋转”实现对角化：
( ψ ~ 1 − ⋮ ψ ~ n − ) = U ( ψ 1 − ⋮ ψ n − ) and ( χ ~ 1 + ⋮ χ ~ n + ) = V ( χ 1 + ⋮ χ n + ) \left(\begin{array}{c} \tilde{\psi}_{1}^{-} \\ \vdots \\ \tilde{\psi}_{n}^{-} \end{array}\right)=U\left(\begin{array}{c} \psi_{1}^{-} \\ \vdots \\ \psi_{n}^{-} \end{array}\right) \quad \text { and } \quad\left(\begin{array}{c} \tilde{\chi}_{1}^{+} \\ \vdots \\ \tilde{\chi}_{n}^{+} \end{array}\right)=V\left(\begin{array}{c} \chi_{1}^{+} \\ \vdots \\ \chi_{n}^{+} \end{array}\right) ⎝⎜⎛ψ~1−⋮ψ~n−⎠⎟⎞=U⎝⎜⎛ψ1−⋮ψn−⎠⎟⎞ and ⎝⎜⎛χ~1+⋮χ~n+⎠⎟⎞=V⎝⎜⎛χ1+⋮χn+⎠⎟⎞
当然， m m m值实际为正比于 Yukawa 耦合参数和希格斯真空，希格斯doublet是而分量场，自然能表示成两个真空值 vev1, vev2 ： vevs = { { phi1, vev1 }, { phi2, vev2 } }，其中phi1，phi2是希格斯场本身在真空中的激发。准确来说，在 S U ( 2 ) SU(2) SU(2) 下希格斯场应该有四个分量，他们之间的 Maxing 能指定如下：
这代表了这样的希格斯场分量组合：
( ϕ 1 ϕ 2 ) = 1 2 [ ( v 1 v 2 ) + U s † ( h 1 h 2 ) + i U p † ( a 1 a 2 ) ] \left(\begin{array}{l} \phi_{1} \\ \phi_{2} \end{array}\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\left(\begin{array}{l} v_{1} \\ v_{2} \end{array}\right)+U_{s}^{\dagger}\left(\begin{array}{l} h_{1} \\ h_{2} \end{array}\right)+i U_{p}^{\dagger}\left(\begin{array}{l} a_{1} \\ a_{2} \end{array}\right)\right] (ϕ1ϕ2)=2 1[(v1v2)+Us†(h1h2)+iUp†(a1a2)]
当然在标准模型中我们一般使得某一真空值 v e v 1 vev1 vev1或 v e v 2 vev2 vev2为零使得中微子质量为0（取决于左手中微子在 doublet 的上还是下分量），然后希格斯场的四个分量场（ h 1 , h 2 , a 1 , a 2 h_1 ,h_2,a_1,a_2 h1,h2,a1,a2）的三个对应为 Goldstone 场（赋予了 W ± , Z W^{\pm},Z W±,Z质量），剩下一个为希格斯标量粒子。
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