数论——Baby Step Giant Step大步小步算法

bsgs算法

Baby Step Giant Step算法，简称BSGS算法，也称为大步小步算法.

解决对象

离散对数：当x≡Gk(modm)x≡Gk(modm)x\equiv G^k\pmod m时，logG(x)≡k(modϕ(m))logG(x)≡k(modϕ(m))log_G(x)\equiv k\pmod{\phi(m)}。此处的logG(x)logG(x)log_G(x)是xxx以整数G'>GGG为底，模ϕ(m)ϕ(m)\phi(m)的离散对数。
BSGS算法就是用来求解Ax≡B(modC)Ax≡B(modC)A^x\equiv B\pmod C。原始的BSGS算法只能解决CCC是质数的问题。

求解步骤

设m=C'>m=C−−√m=Cm=\sqrt C向下取整，x=i×m+jx=i×m+jx=i\times m+j，那么，Ax=(Am)i×Aj,0≤i<m,0≤j<mAx=(Am)i×Aj,0≤i<m,0≤j<mA^x=(A^m)^i\times A^j,0\leq i。然后可以枚举iii，这是一个O(C)'>O(C−−√)O(C)O(\sqrt C)级别的枚举。
对于枚举的每一个iii，都令D=(Am)i'>D=(Am)iD=(Am)iD=(A^m)^i，令E=AjE=AjE=A^j，那么就有D×E≡B(modC)D×E≡B(modC)D\times E\equiv B\pmod C。然后用扩展欧几里得求解。
不过还应该特判AAA是C'>CCC的倍数的情况，比较容易。
对于多次调用AjAjA^j的情况，不用每次都用快速幂，只需要扔进hash表就可以了。

基本代码（用map模拟hash）

这道题
采用map，代码量比hash少的多了！！
（hash我调了好几天没调出来，后来换成map就过了，肯定是hash写错了）

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
inline long long read()
{long long num=0;char c=' ';bool flag=true;for(;c>'9'||c<'0';c=getchar())if(c=='-')flag=false;for(;c>='0'&&c<='9';num=num*10+c-48,c=getchar());return flag ? num : -num;
}
int A,B,C;
namespace ksm
{long long qpow(long long a,long long t,long long p){int base=a%p;long long ans=1;while(t){if(t&1)ans=(long long)ans%p*(base%p)%p;base=(long long)base%p*(base%p)%p;t>>=1;}return ans;}
}namespace BSGS
{map<long long,int>mp;int bsgs(int A,int B,int C){mp.clear();if(A%C==0)return -1;int p=false;int m=ceil(sqrt(C));long long ans;for(int i=0;i<=m;i++){if(!i){ans=B%C;mp[ans]=i;continue;}ans=ans*A%C;mp[ans]=i;}long long t=ksm::qpow(A,m,C);ans=1;for(int i=1;i<=m;i++){ans=(ans*t)%C;if(mp[ans]){int t=i*m-mp[ans];return (t%C+C)%C;p=true;break;}}if(!p)return -1;}
}int main()
{int t=read();int l=read();if(l==1){using namespace ksm;while(t--){int a=read();int c=read();int b=read();printf("%lld\n",qpow(a,c,b));}return 0;}if(l==2){using namespace ksm;while(t--){int y=read();int z=read();int p=read();int gcd=__gcd(y,p);if(z%gcd){printf("Orz, I cannot find x!\n");continue;}printf("%d\n",((z%p)*(long long)qpow(y,p-2,p))%p);}}if(l==3){using namespace BSGS;using namespace ksm;while(t--){A=read();B=read();C=read();long long ans=bsgs(A,B,C); if(ans==-1){printf("Orz, I cannot find x!\n");continue;}printf("%lld\n",ans);}}return 0;
}

鸣谢这位大佬map的启示！
我是传送门

SDOI2011 计算器

题目描述

你被要求设计一个计算器完成以下三项任务：
1、给定y、z、p，计算yzmodpyzmodpy^z mod p 的值；
2、给定y、z、p，计算满足xy≡zxy≡zxy ≡z(mod p)的最小非负整数x；
3、给定y、z、p，计算满足yx≡z(mod p)yx≡z(modp)y^x ≡z(mod\ p)的最小非负整数x。
为了拿到奖品，全力以赴吧！

输入输出格式

输入格式：

输入文件calc.in 包含多组数据。
第一行包含两个正整数T、L，分别表示数据组数和询问类型（对于一个测试点内的所有数
据，询问类型相同）。
以下T 行每行包含三个正整数y、z、p，描述一个询问。

输出格式：

输出文件calc.out 包括T 行.
对于每个询问，输出一行答案。
对于询问类型2 和3，如果不存在满足条件的，则输出“Orz, I cannot find x!”。

输入输出样例

输入样例#1：

3 1
2 1 3
2 2 3
2 3 3

输出样例#1：

2
1
2

输入样例#2：

3 2
2 1 3
2 2 3
2 3 3

输出样例#2：

2
1
0

输入样例#3：

4 3
2 1 3
2 2 3
2 3 3
2 4 3

输出样例#3：

0
1
Orz, I cannot find x!
0

数据规模和约定

题解

这里有三种问法，第一种问法就直接是带模的快速幂，没啥好说的。
第二种问法就是求线性方程解，那就用扩展欧几里得！
第三种问法就是本文考虑的BSGS算法，也就是一个板子题目吧。怎么写板子前面已经介绍过了。

code

就是纯板子吧，直接照搬上面的代码就行了。

扩展BSGS

传统的bsgs只能解决c是质数的问题，如果c是合数，那就需要使用扩展bsgs。因为不是质数，所以不能直接求逆元。
扩展BSGS大概有那么几几个步骤：
设d=gcd(A,C)d=gcd(A,C)d=gcd(A,C)，那么A,B,CA,B,CA,B,C可以表示为A=a∗d,B=b∗dA=a∗d,B=b∗dA=a*d,B=b*d（如果B不是d的倍数且B!=1B!=1B!=1则显然无解），C=c∗dC=c∗dC=c*d。代入原式可得a×(a×d)x−1≡b(modc)a×(a×d)x−1≡b(modc)a\times (a\times d)^{x-1}\equiv b\pmod c，如果我们把D×aD×aD\times a，那么左边就只剩下(a×d)x−1了(a×d)x−1了(a\times d)^{x-1}了，不停地求d=gcd(A,C)d=gcd(A,C)d=gcd(A,C)，然后将B和C分别除以d。D要乘A/d，num++，直到d=1为止。
最后方程就成为这种形式了：D×Ax−num≡B(modC)D×Ax−num≡B(modC)D\times A^{x-num}\equiv B\pmod C。那么令x=i×m+j+numx=i×m+j+numx=i\times m+j+num，那么原先的BSGS一样处理就可以了。但是需要注意的是，x