点到直线的距离计算原理及MATLAB程序

在二维和三维空间，有现成的计算点到空间直线的距离的公式：

如：

$d=\frac{\left|A x_{0}+B y_{0}+C\right|}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}$

三维空间有类似的计算公式.

甚至博客直接提出用叉乘和行列式计算点到直线距离的计算方法和程序。但仅限于二维和三维的情况。更高维的就不适用。而我自己的需求是高维C空间下计算点到直线的距离。上面的公式均不能使用。参考内容得到计算维度无关的点到直线距离。

首先要求得到空间直线上任意两点的坐标 $\boldsymbol {p}_{0}$ 和 $\boldsymbol {p}_{1}$ ，用于计算直线的单位方向向量 $\boldsymbol a$ ，以及直线外一点坐标 $\boldsymbol {p}$ ，得到该点到直线的距离为

$\begin{aligned} \left\|\boldsymbol{p}-\boldsymbol{p}_{0}-\boldsymbol{a} \boldsymbol{a}^{T}\left(\boldsymbol{p}-\boldsymbol{p}_{0}\right)\right\|^{2} & \\ =\left(\boldsymbol{p}-\boldsymbol{p}_{0}\right)^{T}\left(I-\boldsymbol{a} \boldsymbol{a}^{T}\right)\left(\boldsymbol{p}-\boldsymbol{p}_{0}\right) \end{aligned}$

其中：

$\boldsymbol a= \frac{\boldsymbol p_{1} - \boldsymbol p_{0}} {\left \| \boldsymbol p_{1} - \boldsymbol p_{0} \right \|}$

代码：

aa = P1 - P0;
a = aa/norm(aa);
d = norm(P - P0 - a*a'*(P - P0));

参考资料

求解3维空间中点到直线的距离

点到直线距离

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