算法导论第21章:并查集
算法分析的一个约定
MAKE-SET的次数为n
MAKE-SET、FIND-SET、UNION的总次数为m
不相交数据集合的链表实现
链表表示一个集合,结点表示一个元素。每个结点都有指向头节点的指针,头结点指向集合的代表元。
MAKE-SET(x):创建一个只有一个结点的链表【O(1)】
FIND-SET(x):元素的结点指向头节点,再指向代表元 【O(1)】
UNION(x,y):较短链表合并至较长链表,短链表的每个结点需要重新指向头结点。【Ω(n)】
时间分析:O(m+nlgn),对于每个结点,最多合并O(lgn)次,总合并次数O(nlgn)。
朴素的并查集
每棵树代表一个集合,根结点为代表元。约定根节点的祖先为本身。
MAKE-SET(x):创建一个只有一个结点的树【O(1)】
FIND-SET(x):重复查找祖先直到根节点 【O(n)】
UNION(x,y):根指向另一个根【O(1)】
时间分析:FIND-SET(x)太慢了!!
路径压缩(Path Compression)
FIND-SET(x):查找根节点时,顺便把路径上的结点直接指向根节点,将树高变为O(1)
int Find(int x) {if(x == L[x]) return x;int root = Find(L[x]);L[x] = root;return root; }int Find(int x) {return x == L[x] ? x : L[x] = Find(L[x]); }
按秩合并(Union by rank)
UNION(x,y):这里的秩(rank)指的是结点的高度,就是合并两个树的时候,把秩更小的根结点指向秩更大的根节点。就是降低树高,理论上可以加快find-set操作
并查集的时间分析
使用这两种优化后,并查集在最坏的情况下O(m*α(n)) ,α(n) ≤ 4
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