今天来学习第七章——快速排序。

作为占据一章的排序，快速排序可谓是重量级选手。

实际排序中最好的选择，因为
- (1) 其平均性能非常好，期望实践复杂度为 O(n lgn);
- (2) 可进行原址排序;
- (3) 在虚拟环境中也能很好地工作。
适用于基于随机的数据，因为其最坏情况时间复杂度为 n^{2}。最坏情况即所有元素都一样。

1. 概念

2. 伪代码

QUICKSORT(A, p, r)
if p < rq = PARTITION(A, p, r)QUICKSORT(A, p, q - 1)QUICKSORT(A, q + 1, r)PARTITION(A, p, r)
x = A[r] // pivot element, 主元
i = p - 1
for j = p to r - 1 // 无限制区域元素划分if A[j] <= xi = i + 1exchange A[i] with A[j]
// 循环结束后，修改主元与中间元素。
// 这一步操作使得在主元 A[p] 左边的元素都比主元小，在主元 A[p] 右边的元素都比主元大。
exchange A[i + 1] with A[r]
return i + 1

为了排序一整个数组，一开始调用的函数是 QUICKSORT(A, 1, A.length)

以下则是上述函数维护的数组图像表示：

3. Java 实现

public class QuickSort {public static void main(String[] args) {int len = 10;int[] a = new int[len];for (int i = 0; i < len; i++) {a[i] = (int)(Math.random() * 100);}// 排序之前for (int num: a) {System.out.print(num + "\t");}quickSort(a, 0, len - 1);// 排序之后System.out.println();for (int num: a) {System.out.print(num + "\t");}}public static void quickSort(int[] a, int p, int r) {if (p < r) {int q = partition(a, p, r);quickSort(a, p, q - 1);quickSort(a, q + 1, r);}}public static int partition(int[] a, int p, int r) {int x = a[r]; // 主元int i = p - 1;for (int j = p; j < r; j++) {// 无限制区域if (a[j] <= x) {i++;change(a, i, j);}}change(a, i + 1, r);return i + 1;}public static void change(int[] a, int first, int second) {int tmp = a[first];a[first] = a[second];a[second] = tmp;}
}

某一次运行结果如下

65 10 95 21 22 72 95 22 32 31
10 21 22 22 31 32 65 72 95 95

4. 复杂度

以下引用来自算法复杂度分析

实际中，我们一般仅考量算法在最坏情况下的运行情况，也就是对于规模为 n 的任何输入，算法的最长运行时间。这样做的理由是：
(1) 一个算法的最坏情况运行时间是在任何输入下运行时间的一个上界（Upper Bound）。
(2) 对于某些算法，最坏情况出现的较为频繁。
(3) 大体上看，平均情况通常与最坏情况一样差。

渐近记号（Asymptotic Notation）通常有 O、 Θ 和 Ω 记号法。
Θ 记号渐进地给出了一个函数的上界和下界，
当只有渐近上界时使用 O 记号，
当只有渐近下界时使用 Ω 记号。
尽管技术上 Θ 记号较为准确，但通常仍然使用 O 记号表示。
使用 O 记号法（Big O Notation）表示最坏运行情况的上界。例如，
线性复杂度 O(n) 表示每个元素都要被处理一次。
平方复杂度 O(n^2) 表示每个元素都要被处理 n 次。

在算法导论中，采用记号 lg n = log2 n ，也就是以 2 为底的对数。

下图源于各个排序算法的时间复杂度和稳定性，快排的原理

5. 练习题（不想做啊，好难啊

7.1-2 当数组 A[p… r] 中的元素都相同时，PARTTION 返回的 q 值是什么? 修改 PARTITION, 使得当数组 A[p… r] 中所有元素的值都相同时，q=⌊(p+r)/2」。

① 当元素相同时, 返回值 q =i+1=r-1+1=r.
② 修改思路：TODO

7.1-3 请简要地证明:在规模为n的子数组.上，PARTITION的时间复杂度为日(n)。

TODO

7.1-4 如何修改QUICKSORT，使得它能够以非递增序进行排序?

TODO

7.2-1 利用代人法证明:正如7.2节开头提到的那样，递归式T(n)= T(n - 1) +0(n)的解为 T(n)=O(n^2 )。

7.2-2 当数组A的所有元素都具有相同值时，QUICKSORT的时间复杂度是什么?

7.2-3 证明:当数组A包含的元素不同，并且是按降序排列的时候，QUICKSORT的时间复杂度为 O(n2 )。

7.2-4 银行一般会按照交易时间来记录某一账户的交易情况。但是，很多人却喜欢收到的银行对账单是按照支票号码的顺序来排列的。这是因为，人们通常都是按照支票号码的顺序来开出支票的，而商人也通常都是根据支票编号的顺序兑付支票。这一问题是将按交易时间排序的序列转换成按支票号排序的序列，它实质上是-一个对几乎有序的输人序列进行排序的问题。请证明:在这个问题上，INSERTION-SORT的性能往往要优于QUICKSORT?

7.2-5 假设快速排序的每一层所做的划分的比例都是1-a: a,其中0<a≤1/2且是一个常数。试证明:在相应的递归树中，叶结点的最小深度大约是 -lgn/ lga,最大深度大约 -lgn/lg(1- a) (无需考虑整数舍人问题)。

*7.2-6 试证明:在一个随机输人数组上，对于任何常数0<a≤1/2，PARTITION产生比1-a: a更平衡的划分的概率约为1 - 2a。

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算法导论第7章快速排序 —— 练习还没做，记得补锅

1. 概念

2. 伪代码

3. Java 实现

4. 复杂度

5. 练习题（不想做啊，好难啊

7.1-2 当数组 A[p… r] 中的元素都相同时，PARTTION 返回的 q 值是什么? 修改 PARTITION, 使得当数组 A[p… r] 中所有元素的值都相同时，q=⌊(p+r)/2」。

7.1-3 请简要地证明:在规模为n的子数组.上，PARTITION的时间复杂度为日(n)。

7.1-4 如何修改QUICKSORT，使得它能够以非递增序进行排序?

7.2-1 利用代人法证明:正如7.2节开头提到的那样，递归式T(n)= T(n - 1) +0(n)的解为 T(n)=O(n^2 )。

7.2-2 当数组A的所有元素都具有相同值时，QUICKSORT的时间复杂度是什么?

7.2-3 证明:当数组A包含的元素不同，并且是按降序排列的时候，QUICKSORT的时间复杂度为 O(n2 )。

7.2-5 假设快速排序的每一层所做的划分的比例都是1-a: a,其中0<a≤1/2且是一个常数。试证明:在相应的递归树中，叶结点的最小深度大约是 -lgn/ lga,最大深度大约 -lgn/lg(1- a) (无需考虑整数舍人问题)。

*7.2-6 试证明:在一个随机输人数组上，对于任何常数0<a≤1/2，PARTITION产生比1-a: a更平衡的划分的概率约为1 - 2a。

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7.1-4 如何修改QUICKSORT，使得它能够以非递增序进行排序?

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7.2-2 当数组A的所有元素都具有相同值时，QUICKSORT的时间复杂度是什么?

7.2-3 证明:当数组A包含的元素不同，并且是按降序排列的时候，QUICKSORT的时间复杂度为 O(n2 )。

7.2-5 假设快速 排序的每一层所做的划分的比例都是1-a: a,其中0<a≤1/2且是一个常数。试证明:在相应的递归树中，叶结点的最小深度大约是 -lgn/ lga,最大深度大约 -lgn/lg(1- a) (无需考虑整数舍人问题)。

*7.2-6 试证明:在一个随机输人数组上，对于任何常数0<a≤1/2，PARTITION产生比1-a: a更平衡的划分的概率约为1 - 2a。

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