晶格振动和声子 2022.10.15

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介绍了杜隆和能量均分的相同和差异

能量均分是以气体分子作为研究对象

而杜隆定理研究对象是固体，大部分是金属固体

固体和气体自由度是有差别的，这也导致了有不同样的比热

但是这两种能量均分定理，气体分子的还有固体的，在很大的温度范围之内，都是一个不随温度变化的值，大概是三倍的R，这么一个数值

这与我们后续，在20世纪之后，1900年之后，低温试验测得比热有很大的差别

还在当固体处于固体状态的时候，在外界的作用下，会在平衡位置附近作简谐运动，如果不做简谐运动，就不能保持固体的特性了，温度太高就融化了，甚至升华了，我们把平衡位置附近的运动，把他想象成一个simple harmonic potential ，这个是和一维无限深势阱有些类似的，比如说都在边界处它的势能接近于无穷，内部的形状是一个矩形，这个线性是从经典的部分过来的

经典理论是解决不了我们的这个比热变化的，在经典理论里面，这些好像都跟温度没有啥关系，

没有引出温度的路径，我们在上一学期的热力学与统计物理里面，讲能量均分定理的时候，有些运动只能用量子化来理解，从这方面来讲，需要把固体中的原子，因为外界热源引起的简谐运动，在量子的区间进行一个求解，来看一看，这个简谐势阱是量子作用下，能够产生什么样的能级

首先说明了，简谐运动对于原子来说，适用的范围，远离平衡位置自然就不可能了

我们可以得到量子形式的哈密顿算符

我们对两组根进行检验，发现在这种情况下，有一组就被舍弃掉了

这样的话，我们就通过第一步，x在无穷大的时候，进行了讨论，我们发现了我们的解需要乘以收敛相，对我们的函数进行修饰，收敛相之后，对我们的函数进行进一步求解

如果波函数具有两部分的话，代入微分方程中

我们就得到了关于h的二次微分方程，我们发现化简之后，关于h的二次微分方程

不微分项前面是常系数

这种形式的微分方程，经过查表可以发现

这个方程的典型特点就是一次微分项前面会有x的系数，这样子的话，我们可以看到规定2n是一个常数，这种方程的求解是利用Hermite Polynomial就是用厄密多项式去求解

它的形式就是一个多项式求和的形式

代入求解形式之后

每一项都相同，这个方程就会有解，我们从前面已知厄密多项式，微分方程解的时候，我们就把厄密多项式代入这个微分方程中，带入微分方程中之后，我们就可以对方程中的每一个项之间的关系，进行求解，当然我们对每一项进行求解的时候，我们需要下一番功夫，需要把下标弄整齐

如果我们每一项都满足这个方程，就可以导出上面这个公式等于0

我们就可以把加和号去掉，这是一个充分条件

在我们的这个厄密多项式里面，最关键的就是相邻几项之间的关系，未知的部分就是前面的系数

我们把厄密多项式代入微分方程中，未知的就是前面的系数，这样的话，我们就得到了，前后几项之间的关系，也就是说如果前后几项满足这样的关系，就可以满足这样的条间，这样的条间是使得微分方程成立的充分条件

这样的话，我们再来看微分方程求解，关系确实是比较复杂的，第一步我们先用趋近于无穷这一边界条间，在一维单元链里面，用了周期性边界条件，这边要求波函数要收敛，我们首先得到收敛系数，相当于设置了一个窗口，我们对方程进行进一步求救，用了类似于验算法这么一个求解的过程

先设处微分方程解的形似，然后再代入，我们通过微分方程直接看出它的解，再把解代入到微分方程中给，再求解出一维无限深势阱解的系数

确定了厄密多项式，我们就求解出了H，我们就相当于求解出了 $\phi$

我们画出一个又一个能级

有了能量我们可以算出K来，我们对能量更关心一些，没有对波函数进行完全求解，可以试一下对波函数进行求解，我们来看一下这个能量

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