社团划分——Fast Unfolding算法

一、社区划分问题

1、社区以及社区划分

在社交网络中，用户相当于每一个点，用户之间通过互相的关注关系构成了整个网络的结构，在这样的网络中，有的用户之间的连接较为紧密，有的用户之间的连接关系较为稀疏，在这样的的网络中，连接较为紧密的部分可以被看成一个社区，其内部的节点之间有较为紧密的连接，而在两个社区间则相对连接较为稀疏，这便称为社团结构。

(Newman and Gievan 2004) A community is a subgraph containing nodes which are more densely linked to each other than to the rest of the graph or equivalently, a graph has a community structure if the number of links into any subgraph is higher than the number of links between those subgraphs.

如下图：

用红色的点和黑色的点对其进行标注，整个网络被划分成了两个部分，其中，这两个部分的内部连接较为紧密，而这两个社区之间的连接则较为稀疏。如何去划分上述的社区便称为社区划分的问题。

2、社区划分的算法

在社区划分问题中，存在着很多的算法，如由Newman和Gievan提出的GN算法，标签传播算法(Label Propagation Algorithm, LPA)，这些算法都能一定程度的解决社区划分的问题，但是性能则是各不相同。总的来说，在社区划分中，主要分为两大类算法

凝聚方法(agglomerative method)：添加边
分裂方法(divisive method)：移除边

在后续的文章中，我们会继续关注不同的社区划分的算法，在这篇文章中，主要关注Fast Unfolding算法。

3、社区划分的评价标准

为了评价社区划分的优劣，Newman等人提出了模块度的概念，用模块度来衡量社区划分的好坏。简单来讲，就是将连接比较稠密的点划分在一个社区中，这样模块度的值会变大，最终，模块度最大的划分是最优的社区划分。

二、模块度的概念

1、模块度的公式

社区划分的目标是使得划分后的社区内部的连接较为紧密，而在社区之间的连接较为稀疏，通过模块度的可以刻画这样的划分的优劣，模块度越大，则社区划分的效果越好，模块度的公式如下所示：

Q=12m∑i,j[Ai,j−kikj2m]δ(ci,cj)

Q=\frac{1}{2m}\sum_{i,j}\left [ A_{i,j}-\frac{k_ik_j}{2m} \right ]\delta \left ( c_i,c_j \right )

其中，m=12∑i,jAi,j m = \frac{1}{2}\sum_{i, j}A_{i,j} 表示的是网络中的所有的权重，Ai,j A_{i,j}表示的是节点i i和节点j j之间的权重，ki=∑jAi,j k_i=\sum_{j}A_{i,j}表示的是与顶点i i连接的边的权重，ci c_i表示的是顶点被分配到的社区，δ(ci,cj) \delta \left ( c_i,c_j \right )用于判断顶点i i与顶点j j是否被划分在同一个社区中，若是，则返回1 1，否则，返回0 0。

2、模块度公式的简化形式

上述的模块度的计算可以得到以下的简化形式：

Q=∑c⎡⎣∑in2m−(∑tot2m)2⎤⎦

Q=\sum_{c}\left [ \frac{\sum_{in}}{2m}-\left ( \frac{\sum_ {tot}}{2m} \right )^2 \right ]

其中，∑in \sum_{in}表示的是社区c c内部的权重，∑tot \sum_ {tot}表示的是与社区c c内部的点连接的边的权重，包括社区内部的边以及社区外部的边。

3、模块度公式的解释

模块度（modularity）指的是网络中连接社区结构内部顶点的边所占的比例，减去在同样的社团结构下任意连接这两个节点的比例的期望值。

三、Fast Unfolding算法

1、Fast Unfolding算法的思路

模块度成为度量社区划分优劣的重要标准，划分后的网络模块度值越大，说明社区划分的效果越好，Fast Unfolding算法便是基于模块度对社区划分的算法，Fast Unfolding算法是一种迭代的算法，主要目标是不断划分社区使得划分后的整个网络的模块度不断增大。

2、Fast Unfolding算法的过程

Fast Unfolding算法主要包括两个阶段，如下图所示：

第一阶段称为Modularity Optimization，主要是将每个节点划分到与其邻接的节点所在的社区中，以使得模块度的值不断变大；第二阶段称为Community Aggregation，主要是将第一步划分出来的社区聚合成为一个点，即根据上一步生成的社区结构重新构造网络。重复以上的过程，直到网络中的结构不再改变为止。

具体的算法过程如下所示：

初始化，将每个点划分在不同的社区中；

对每个节点，将每个点尝试划分到与其邻接的点所在的社区中，计算此时的模块度，判断划分前后的模块度的差值ΔQ \Delta Q是否为正数，若为正数，则接受本次的划分，若不为正数，则放弃本次的划分；

重复以上的过程，直到不能再增大模块度为止；
构造新图，新图中的每个点代表的是步骤3中划出来的每个社区，继续执行步骤2和步骤3，直到社区的结构不再改变为止。

注意：在步骤2中计算节点的顺序对模块度的计算是没有影响的，而是对计算时间有影响。

四、算法实现

针对上图表示的网络，最终的结果为：

可以使用下面的程序实现其基本的原理：

import stringdef loadData(filePath):f = open(filePath)vector_dict = {}edge_dict = {}for line in f.readlines():lines = line.strip().split("\t")for i in xrange(2):if lines[i] not in vector_dict:#put the vector into the vector_dictvector_dict[lines[i]] = True#put the edges into the edge_dictedge_list = []if len(lines) == 3:edge_list.append(lines[1-i]+":"+lines[2])else:edge_list.append(lines[1-i]+":"+"1")edge_dict[lines[i]] = edge_listelse:edge_list = edge_dict[lines[i]]if len(lines) == 3:edge_list.append(lines[1-i]+":"+lines[2])else:edge_list.append(lines[1-i]+":"+"1")edge_dict[lines[i]] = edge_listreturn vector_dict, edge_dictdef modularity(vector_dict, edge_dict):Q = 0.0# m represents the total wightm = 0for i in edge_dict.keys():edge_list = edge_dict[i]for j in xrange(len(edge_list)):l = edge_list[j].strip().split(":")m += string.atof(l[1].strip())# cal community of every vector#find member in every communitycommunity_dict = {}for i in vector_dict.keys():if vector_dict[i] not in community_dict:community_list = []else:community_list = community_dict[vector_dict[i]]community_list.append(i)community_dict[vector_dict[i]] = community_list#cal inner link num and degreeinnerLink_dict = {}for i in community_dict.keys():sum_in = 0.0sum_tot = 0.0#vector numvector_list = community_dict[i]#print "vector_list : ", vector_list#two loop cal inner linkif len(vector_list) == 1:tmp_list = edge_dict[vector_list[0]]tmp_dict = {}for link_mem in tmp_list:l = link_mem.strip().split(":")tmp_dict[l[0]] = l[1]if vector_list[0] in tmp_dict:sum_in = string.atof(tmp_dict[vector_list[0]])else:sum_in = 0.0else:for j in xrange(0,len(vector_list)):link_list = edge_dict[vector_list[j]]tmp_dict = {}for link_mem in link_list:l = link_mem.strip().split(":")#split the vector and weighttmp_dict[l[0]] = l[1]for k in xrange(0, len(vector_list)):if vector_list[k] in tmp_dict:sum_in += string.atof(tmp_dict[vector_list[k]])#cal degreefor vec in vector_list:link_list = edge_dict[vec]for i in link_list:l = i.strip().split(":")sum_tot += string.atof(l[1])        Q += ((sum_in / m) - (sum_tot/m)*(sum_tot/m))return Qdef chage_community(vector_dict, edge_dict, Q):vector_tmp_dict = {}for key in vector_dict:vector_tmp_dict[key] = vector_dict[key]#for every vector chose it's neighborfor key in vector_tmp_dict.keys():neighbor_vector_list = edge_dict[key]for vec in neighbor_vector_list:ori_com = vector_tmp_dict[key]vec_v = vec.strip().split(":")#compare the list_member with ori_comif ori_com != vector_tmp_dict[vec_v[0]]:vector_tmp_dict[key] = vector_tmp_dict[vec_v[0]]Q_new = modularity(vector_tmp_dict, edge_dict)#print Q_newif (Q_new - Q) > 0:Q = Q_newelse:vector_tmp_dict[key] = ori_comreturn vector_tmp_dict, Qdef modify_community(vector_dict):#modify the communitycommunity_dict = {}community_num = 0for community_values in vector_dict.values():if community_values not in community_dict:community_dict[community_values] = community_numcommunity_num += 1for key in vector_dict.keys():vector_dict[key] = community_dict[vector_dict[key]]return community_numdef rebuild_graph(vector_dict, edge_dict, community_num):vector_new_dict = {}edge_new_dict = {}# cal the inner connection in every communitycommunity_dict = {}for key in vector_dict.keys():if vector_dict[key] not in community_dict:community_list = []else:community_list = community_dict[vector_dict[key]]community_list.append(key)community_dict[vector_dict[key]] = community_list# cal vector_new_dictfor key in community_dict.keys():vector_new_dict[str(key)] = str(key)# put the community_list into vector_new_dict#cal inner link numinnerLink_dict = {}for i in community_dict.keys():sum_in = 0.0#vector numvector_list = community_dict[i]#two loop cal inner linkif len(vector_list) == 1:sum_in = 0.0else:for j in xrange(0,len(vector_list)):link_list = edge_dict[vector_list[j]]tmp_dict = {}for link_mem in link_list:l = link_mem.strip().split(":")#split the vector and weighttmp_dict[l[0]] = l[1]for k in xrange(0, len(vector_list)):if vector_list[k] in tmp_dict:sum_in += string.atof(tmp_dict[vector_list[k]])inner_list = []inner_list.append(str(i) + ":" + str(sum_in))edge_new_dict[str(i)] = inner_list#cal outer link numcommunity_list = community_dict.keys()for i in xrange(len(community_list)):for j in xrange(len(community_list)):if i != j:sum_outer = 0.0member_list_1 = community_dict[community_list[i]]member_list_2 = community_dict[community_list[j]]for i_1 in xrange(len(member_list_1)):tmp_dict = {}tmp_list = edge_dict[member_list_1[i_1]]for k in xrange(len(tmp_list)):tmp = tmp_list[k].strip().split(":");tmp_dict[tmp[0]] = tmp[1]for j_1 in xrange(len(member_list_2)):if member_list_2[j_1] in tmp_dict:sum_outer += string.atof(tmp_dict[member_list_2[j_1]])if sum_outer != 0:inner_list = edge_new_dict[str(community_list[i])]inner_list.append(str(j) + ":" + str(sum_outer))edge_new_dict[str(community_list[i])] = inner_listreturn vector_new_dict, edge_new_dict, community_dictdef fast_unfolding(vector_dict, edge_dict):#1. initilization:put every vector into different communities#   the easiest way:use the vector num as the community numfor i in vector_dict.keys():vector_dict[i] = i#print "vector_dict : ", vector_dict#print "edge_dict : ", edge_dictQ = modularity(vector_dict, edge_dict)  #2. for every vector, chose the communityQ_new = 0.0while (Q_new != Q):Q_new = Qvector_dict, Q = chage_community(vector_dict, edge_dict, Q)community_num = modify_community(vector_dict)print "Q = ", Qprint "vector_dict.key : ", vector_dict.keys()print "vector_dict.value : ", vector_dict.values()Q_best = Qwhile (True):#3. rebulid new graph, re_run the second stepprint "edge_dict : ",edge_dictprint "vector_dict : ",vector_dictprint "\n rebuild"vector_dict, edge_new_dict, community_dict = rebuild_graph(vector_dict, edge_dict, community_num)#print vector_dictprint "community_dict : ", community_dictQ_new = 0.0while (Q_new != Q):Q_new = Qvector_dict, Q = chage_community(vector_dict, edge_new_dict, Q)community_num = modify_community(vector_dict)print "Q = ", Qif (Q_best == Q):breakQ_best = Qvector_result = {}for key in community_dict.keys():value_of_vector = community_dict[key]for i in xrange(len(value_of_vector)):vector_result[value_of_vector[i]] = str(vector_dict[str(key)])for key in vector_result.keys():vector_dict[key] = vector_result[key]print "vector_dict.key : ", vector_dict.keys()print "vector_dict.value : ", vector_dict.values()#get the final resultvector_result = {}for key in community_dict.keys():value_of_vector = community_dict[key]for i in xrange(len(value_of_vector)):vector_result[value_of_vector[i]] = str(vector_dict[str(key)])for key in vector_result.keys():vector_dict[key] = vector_result[key]print "Q_best : ", Q_bestprint "vector_result.key : ", vector_dict.keys()print "vector_result.value : ", vector_dict.values()if __name__ == "__main__":vector_dict, edge_dict=loadData("./cd_data.txt")fast_unfolding(vector_dict, edge_dict)

参考文献

Vincent D Blondel, Jean-Loup Guillaume, Renaud Lambiotte, Etienne Lefebvre, Fast unfolding of communities in large networks, in Journal of Statistical Mechanics: Theory and Experiment 2008 (10), P1000
社区发现算法FastUnfolding的GraphX实现 http://www.tuicool.com/articles/Jrieue