python实现非对称加密RSA算法

0x01 RSA算法介绍

RSA加密算法是一种非对称加密算法。在公开密钥加密和电子商业中RSA被广泛使用。RSA是1977年由罗纳德·李维斯特（Ron Rivest）、阿迪·萨莫尔（Adi Shamir）和伦纳德·阿德曼（Leonard Adleman）一起提出的。当时他们三人都在麻省理工学院工作。RSA就是他们三人姓氏开头字母拼在一起组成的。
这种算法非常可靠，密钥越长，它就越难破解。根据已经披露的文献，目前被破解的最长RSA密钥是768个二进制位。也就是说，长度超过768位的密钥，还无法破解（至少没人公开宣布）。因此可以认为，1024位的RSA密钥基本安全，2048位的密钥极其安全。

0x02 RSA算法图解

RSA原理解密表

0x03 数学基础

RSA的算法涉及三个参数，n、e、d。
其中，n是两个大质数p、q的积，n的二进制表示时所占用的位数，就是所谓的密钥长度。

1.素数

素数又称质数，指在一个大于1的自然数中，除了1和此整数自身外，不能被其他自然数整除的数

2.互质数

公因数只有1的两个数，叫做互质数。

常见的互质数判断方法主要有以下几种：
两个不同的质数一定是互质数。例如，2与7、13与19。
一个质数，另一个不为它的倍数，这两个数为互质数。例如，3与10、5与 26。
相邻的两个自然数是互质数。如 15与 16。
相邻的两个奇数是互质数。如 49与 51。较大数是质数的两个数是互质数。如97与88。
小数是质数，大数不是小数的倍数的两个数是互质数。例如 7和 16。
2和任何奇数是互质数。例如2和87。
1不是质数也不是合数，它和任何一个自然数在一起都是互质数。如1和9908。

3.指数运算

指数函数的一般形式为y=a^x(a>0且不=1) ，函数图形上凹，a大于1，则指数函数单调递增；a小于1大于0，则为单调递减的函数。指数函数既不是奇函数也不是偶函数。要想使得x能够取整个实数集合为定义域，则只有使得a的不同大小影响函数图形的情况。

4.模运算

模运算即求余运算。“模”是“Mod”的音译。和模运算紧密相关的一个概念是“同余”。数学上，当两个整数除以同一个正整数，若得相同余数，则二整数同余。
两个整数a，b，若它们除以正整数m所得的余数相等，则称a，b对于模m同余，记作: a ≡ b (mod m)；读作：a同余于b模m，或者，a与b关于模m同余。例如：26 ≡ 14 (mod 12)。

0x04 RSA加解密过程

RSA加密过程简述

A和C进行加密通信时,C首先要生成一对密钥。一个是公钥，给A，C自己持有私钥。A使用C的公钥加密要加密发送的内容，然后C在通过自己的私钥解密内容。

数字签名的作用是保证数据完整性，机密性和发送方角色的不可抵赖性
假设A要想C发送消息，A会先计算出消息的消息摘要，然后使用自己的私钥加密这段摘要加密，最后将加密后的消息摘要和消息一起发送给C，被加密的消息摘要就是“签名”。

C收到消息后，也会使用和A相同的方法提取消息摘要，然后使用A的公钥解密A发送的来签名，并与自己计算出来的消息摘要进行比较。如果相同则说明消息是A发送给C的，同时，A也无法否认自己发送消息给C的事实。

其中，A用自己的私钥给消息摘要加密成为“签名”；C使用A的公钥解密签名文件的过程，就叫做“验签”。

0x05 代码设计

1.生成素数

def prime_array():arraya = []for i in range(2,1000): # 生成前1000中的素数，从2开始因为2是最小的素数x = prime(i,2)    # i为素数是返回True，则将x加入arraya数组中;2为测试值if x:arraya.append(i)return arraya

2.判断是否为素数

def prime(n, test_divisor):if math.sqrt(n) < test_divisor:return True   # 为素数时返回Trueif n % test_divisor == 0:return False  # 不为素数时返回Fasleelse:return prime(n, test_divisor+1)

3.生成公钥和私钥

def main():a= prime_array()print("前100个素数:",a)p = random.choice(a)q = random.choice(a)print("随机生成两个素数p和q. p=",p," q=",q)n = p * qs = (p-1)*(q-1)print("The p is ", p)print("The q is ", q)print("The n(p*q) is ",n)e = co_prime(s)print("根据e和(p-1)*(q-1))互质得到: e=", e)d = find_d(e,s)print("根据(e*d) 模 ((p-1)*(q-1)) 等于 1 得到 d=", d)print("公钥:   n=",n,"  e=",e)print("私钥:   n=",n,"  d=",d)pbvk=(n,e,d)return pbvk

def generate_pbk_pvk(a,zx):pbk = (a[0],a[1]) # public key公钥 元组类型，不能被修改pvk = (a[0],a[2]) # private key私钥# print("公钥:   n=",pbk[0],"  e=",pbk[1])# print("私钥:   n=",pvk[0],"  d=",pvk[1])if zx==0:return pbkif zx==1:return pvk

4.加密与解密

加密
def encryption(mw, ned):# 密文B = 明文A的e次方 模 n， ned为公钥# mw就是明文A，ned【1】是e， ned【0】是nB = pow(mw,ned[1]) % ned[0]return B解密
def decode(mw, ned):# 明文C = 密文B的d次方 模 n， ned为私钥匙# mw就是密文B， ned【1】是e，ned【1】是dC = pow(mw,ned[1]) % ned[0]return C

核心概念
e1和d是一对相关的值，e可以任意取，但要求e与(p-1)(q-1)互质；再选择d，要求(de1)mod((p-1)*(q-1))=1。
（n，e),(n，d)就是密钥对。其中(n，e)为公钥，(n，d)为私钥。[1]
RSA加解密的算法完全相同，设A为明文，B为密文，则：A=B^d mod n；B=A^e mod n；（公钥加密体制中，一般用公钥加密，私钥解密）
e和d可以互换使用，即：
A=B^d mod n；B=A^e mod n;

完整代码

#!/usr/bin/env python
# coding -*- utf:8 -*-
import math
import random# 生成素数数组
def prime_array():arraya = []for i in range(2,100): # 生成前100中的素数，从2开始因为2是最小的素数x = prime(i,2)    # i为素数是返回True，则将x加入arraya数组中;2为测试值if x:arraya.append(i)return arraya# 判断是否为素数
def prime(n, test_divisor):if math.sqrt(n) < test_divisor:return True   # 为素数时返回Trueif n % test_divisor == 0:return False  # 不为素数时返回Fasleelse:return prime(n, test_divisor+1)# 找出与（p-1）*(q-1)互质的数e
def co_prime(s):while True:e = random.choice(range(100))x = gcd(e,s)if x==1: # 如果最大公约数为1，则退出循环返回ebreakreturn e# 求两个数的最大公约数
def gcd(a,b):if b==0:return aelse:return gcd(b, a%b)#根据e*d mod s = 1,找出d
def find_d(e,s):for d in range(100000000): # 随机太难找，就按顺序找到d,range里的数字随意x = (e*d) % sif x==1:return d# 生成公钥和私钥
def main():a= prime_array()print("前100个素数:",a)p = random.choice(a)q = random.choice(a)print("随机生成两个素数p和q. p=",p," q=",q)n = p * qs = (p-1)*(q-1)# print("The p is ", p)# print("The q is ", q)# print("The n(p*q) is ",n)e = co_prime(s)print("根据e和(p-1)*(q-1))互质得到: e=", e)d = find_d(e,s)print("根据(e*d) 模 ((p-1)*(q-1)) 等于 1 得到 d=", d)print("公钥:   n=",n,"  e=",e)print("私钥:   n=",n,"  d=",d)pbvk=(n,e,d)return pbvk# 生成public key公钥或private key私钥
# zx==0 公钥 zx==1 私钥
# a为元组(n,e,d)
def generate_pbk_pvk(a,zx):pbk = (a[0],a[1]) # public key公钥 元组类型，不能被修改pvk = (a[0],a[2]) # private key私钥# print("公钥:   n=",pbk[0],"  e=",pbk[1])# print("私钥:   n=",pvk[0],"  d=",pvk[1])if zx==0:return pbkif zx==1:return pvk# 加密
def encryption(mw, ned):# 密文B = 明文A的e次方 模 n， ned为公钥# mw就是明文A，ned【1】是e， ned【0】是nB = pow(mw,ned[1]) % ned[0]return B# 解密
def decode(mw, ned):# 明文C = 密文B的d次方 模 n， ned为私钥匙# mw就是密文B， ned【1】是e，ned【1】是dC = pow(mw,ned[1]) % ned[0]return Cif __name__=='__main__':pbvk = main()pbk = generate_pbk_pvk(pbvk, 0) #公钥  if 0 return pbk if 1 return pvkA = int(input("开始你的表演，请输入明文: "))print("正在加密********")B = encryption(A,pbk) # 加密print("生成的密文是: ", B)pvk = generate_pbk_pvk(pbvk, 1)  # 私钥print("正在解密*******")C = decode(B,pvk)     # 解密print("解密后的明文是: ", C)if A == C:print("加密前的明文和解密后的明文一样，牛逼!!!")

0x05 基于RSA算法的安全分析

攻击方式
1 对模数 n 的因子分解
2 对 RSA 的公共模数攻击
3 对 RSA 的小指数攻击
4 对 RSA 的选择密文攻击

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