我论矩阵矩阵变换的飞跃三理解矩阵变换 (终)站在对立面一扇新的大门

警告以下内容已超越矩阵变换存在，不能保证其正确性，仅代表一种看法。

我们需要知道，能够形成一整套完整理论的，都是很成熟的，往往研究了几十几百年的，但是有些很新很前沿偶尔很强大的，有时理论残缺不全，甚至没有道理可讲，很不幸这里讨论的目标就属于后者，但又必须去理解它，不然怎么叫强迫症呢

0 目的

上文理解矩阵变换中讲到矩阵变换的缺陷，其中之一是不同的变换不能在同一空间共存，即Ax是对x做A变换，不区分x的空间位置。而我们希望有一种映射能根据x所在空间位置不同而做不同的变换。

1.评估空间内变换出现变化的方法

(注：因为对象比较抽象不太好理解，所以这里提出这个方法，协助理解)

那怎么去评测空间内的这一种映射呢，在这里提出一个用折线及其折射去衡量空间映射变化的方法

如果一条直线进入某空间时，发生了折射(向某方向偏折)，表明空间中的法则(映射)发生了变化，其变化过程可以是突变，也可以是渐变，在一个方向发生，认为一次，在n个方向逐次发生认为n次，我们就认为对该直线施加了n+1次法则(变换)；这n个方向作为坐标系，其为空间s，令m=dim(s);

放出任意的直线，出现了最大的那个n，称为max_n，则认为该空间具有对max_n+1个子空间实施max_n+1次法则的能力；简单说就是提出如下评判原则：

直线映射后被折了n次就表明能对n+1种不同位置的x实施n+1次不同的变换。

n>=m，令k=n/m，k是有用的，这里不讨论；上面这句话可变为

直线映射后被折了n次就表明能对n+1种不同位置的x实施至少m种不同的变换。

2.映射及其定义

我们的目的，是如下图所示的映射，就是在矩阵乘矩阵之间插入一个函数，变成矩阵、函数、矩阵这么一种夹心结构，而上一章我们讨论的映射是图中虚线框内的部分

夹心结构中，如果没有函数，就是矩阵乘矩阵，那还是矩阵，但是，夹入函数，产生了特别的作用

2.1 以1个断点的线性函数为例(非强迫症可跳过)

函数Y=(|y1|,....|yn|)T在坐标i上的分量提取出来，函数如图：

在yi=0的界面上发生了折射，上例中函数的入射斜率是1、折射斜率是-1；更一般的设入射斜率是1，折射斜率是µ。这里不设k1、k2，µ=k1/k2，因为入射时已包含k1，或者说折射后还是k1，那不会偏折，正是因为k1到k2的变化才导致偏折，所以我们用µ；

y=(y1,....yn)T，y经过函数Y作用后为Y=(Y1,....Yn)T，对于Yi有

Yi=yi， yi>0

Yi=µyi，yi<0

如果y=Ax+b，则上面可看作当yi<0时，用µA的第i列替换了A的第i列，用µb的第i行替换了b的第i行，现在先不用考虑偏置b，将其写为

y=A(x+b’)

我们可以看到：界面将空间划分为2^n个象限，第一象限内的映射为矩阵A的线性变换，其余象限的线性变换因象限位置而异，对应于µA对A的列的部分替换；

我们知道必定有一个象限对应于µA对A的全部替换，且也知道只要µ<=0，就能将其他象限映射到第一象限范围之内。

以上这一大堆意味着什么？(这里用到前述的评估方法应能较好理解)就是说有两个矩阵变换，一个是µA，另一个是A，我们可以让一个子空间比如第一像限，同时出现这两种矩阵变换，这样会产生现象：比如直线每进入一个象限就会发生一次折射，最多能发生2^n-1次折射。

2.2 以1个同样的例子来理解

上一章矩阵变换的局限：根据矩阵变换的特点，可知异或运算这样的映射，矩阵变换做不到，本质是变换时，变换矩阵是唯一的，不同的变换不能共存。这样比较好理解：Ax是对x做A变换，不能根据x的位置不同而做不同，的变换；又由于A代表任何矩阵，所以没有矩阵能实现根据x空间位置不同，而做不同的变换。下面用两种函数来实现异或映射，并分析其特点

2.2.1函数Y=(|y1|,|y2|)T

首先做矩阵变换，根据矩阵变换平行关系不变，可以推论得到平行四边形不变，右图可看作平行四边型一个对角线被缩放为0。

然后使用函数在y2轴上发生折射

这里选用的函数是Y=(|y1|,|y2|)T，这样完成了异或变换。

2.2.2 用如下函数来实现异或

分析：函数折射是投影(压缩坐标)，如下变换实现异或

可以看出，在y1轴上发生了折射，导致三点不在一条直线上，用一个矩阵的压缩变换就得到结果。

2.2.3 特点对比

第二种映射的优点：第二种进行了2次矩阵变换，是我们前面定义的夹心结构，设第一次为A，第二次为B；函数对矩阵A变换后穿过界面那部分进行了擦除，然后进行B变换，这样做的优点是能将直线映射为任何折线(最多折2^n-1次)；根据评判原则，我们最多能对特定的2^n种x做2^n种变换。

第一种映射的缺点和优点：第一种映射缺点是折射后没有进行矩阵变换，不能将直线映射为任意折线，只能映射为特定折线，能行是巧合。

其优点就在于只进行了一次矩阵变换，为什么这么说？

为什么这些变换矩阵不写出来，放个图片就完了？因为限于作者水平，即使再简单也码不出来；而稍微复杂的，计算机能够自动生成。
有电脑了，终于不用自己动手了，但是伴随着新的问题，只是让电脑去找一个A还好，要是让它去找AB，那完蛋了，因为：AB=AIB=(AC)(DB)，不给它一个限制，只要满足CD=I的C、D矩阵计算机都能找出来，或者说，它会浪费时间搞出各种A，B矩阵(对于它来说AC就是A，DB也是B)，所以正则化是自从计算机和矩阵乘法有关联后，就必讨论的题目之一。

2.3 偏移b

偏移b很重要，从前面的图可看出，对于有一个断点的线性函数，发生折射的区域是第一象限外，所以需要依靠偏移b把需要分离的点或点集移出第一象限。

3分形与级联(串联)

上面我们看到一个夹心结构能够直线映射为任何折线(最多折2^n-1次)，可以解决许多矩阵变换不能解决的问题。但是仅限于此也谈不上多特别，毕竟用核函数也未必不能得到。

3.1 级联(串联)

所以如下图所示，我们将上述映射作为一层，2层级联(串联)

连接处做简化，下图所示，虚线框内是令A2等于上图的B1A2。

根据评判原则，一层的作用最多能将一条直线折2^n-1次，做l层串联最多可以将一条直线折(2^l^n)-1次，但是这个与单层的折(2^l^n)-1次不同，这是一种类似分形。

3.2 分形与级联

可以想象，我们把一张纸(平行直线排列成一个阵列)2^n-1折(折不准确，应该是m个方向扭曲，每个方向k折，但是有助于理解)有2^n个子空间后，在上面刻花，每条打折的直线会记录下花的部分信息，把这些直线拉直排列起来，会发现有2^n朵花的图案，这是一种分形，来一个分形的图案(来自百度百科：分形)

如果是多层级联，那么相似的图案就像细胞分裂或类似核反应，往下层复制。

从映射上看，对于两层，上层划分成各种子空间，各子空间内对应B1、B2、B3...变换，由于下层会分形般复制上层，也必然会复制上层的子空间划分，那么在下层中，各个子空间的空间内按上层的方式进行划分，分成子子空间，第i个子空间的第j个子空间内实施AiBj映射。

扩展想象：多层级联就是一层又一层，层层叠叠，形成一层一层的空间嵌套，比如类似盗梦空间，类似分形。

3.3 级联的意义

其意在于什么呢，应该在于高效利用资源，比如：单层如果要实施2^nl种变换需要2个n×l维方阵(注意：n×l维意味着m×m矩阵，m=n×l)，但是对于级联只需要l+1个n维方阵。

4 特点分析

4.1.1矩阵规模

这里还有一个问题，我们知道Ax表示对x做A变换，如果我们要找的映射关系是Bx与Cx的叠加那一个矩阵够用吗，由于B+C还是个矩阵，所以我们就用1个没问题，但如果是这种映射呢，即对特定的x实施多种变换的叠加，由于多种变换的叠加后还是一个变换(这个解释是从有限断点的线性函数得出的。又因①非线性函数可以用有限断点的线函数来逼近，②为保证扛扰动，矩阵变换后需要分离的数据点不会太近。所以非线性函数的作用可以用有限断点的线函数替代)

那能行，所以相同的矩阵规模能对各种问题做出很好的映射，或者说，只要能对一种或多种问题做出很好的映射，那总是能对各种问题做出很好的映射。

4.1.2减小矩阵规模

n维矩阵最多实现2^n种变换共存，多层级联的话更多，但实际上我们遇到的问题用不了这么多，又由于解法并不唯一，比如我们做异或运算只用了y1轴作为界面，很明显y2轴也可以，解法不唯一。1个矩阵变换就可以解决许多映射，所以很多问题即使缩减规模也能得到很好映射，表现在把某层或多层的矩阵的部分元素拿走，比如基数或偶数元素拿走。

4.2与核函数的区别

单独比较，本文的映射：两矩阵夹一个函数比核函数灵活，总的来看，与核函数不冲突，可协作，比如对核函数作用后的数据进行映射作为一层，多层级联，等等等各种奇葩组合....

5小结

本文一开始，我们希望有一种变换能根据x所在空间位置的不同而做不同的变换，如今得到了这么一种映射，这是一扇新的大门；

虽然矩阵乘矩阵还是矩阵，但是，我们在这里看到，中间夹了一个函数后，就发生了特别的变化；但其本质是对矩阵变换飞跃性的改进，这就是作者持有的一个核心观点之一。

6用途与缺陷

6.1 用途

全文都在讲这种特殊的映射，那么它(这种映射)有什么用，比如，矩阵变换可以做图像处理这种映射，但是做不了逻辑映射或模式识别，意味着相对矩阵，它擅长逻辑映射与模式识别。

实际情况也差不多，大家用它来做图像识别(会比较慢)，一般都配合核函数，会比较快(分工合作，它专门负责识别模式)，也用它来做语言识别，互动，翻译什么的；开车好像也可以，比如红灯停绿灯行这些简单的逻辑，或者很复杂的交通逻辑，等等等，反正用途大的要死。但是问题在于什么呢，这些场合，比如语言识别，互动，翻译、开车等等需要的是死记硬背模式，还是理解执行?

6.2 缺陷

1）与矩阵变换类似，这种变换同样存在类似的问题：不同映射不能共存，这个很好理解，每一层的矩阵确定了，映射就确定了。这意味着一旦映射改变(我们的问题改变)，矩阵就会变，就需要计算机重新寻找矩阵，所以虽然是多细胞了，但还是有缺陷。

2）这种变换做的是映射，这是它的特点，也是它的缺陷，与矩阵变换类似，世界很复杂，特点变缺点；难道世界有这么复杂，是的，如果我们对它期望很高。

如果我们想得到更高级的映射，那至少需要它具备观察、感知、认知、学习、推理、执行这么几点；但它总是被诟病为鹦鹉，因为鹦鹉不理解却也能靠死记硬背讲出流利的语言，只不过它是更强大的鹦鹉。

有对立面，才能进化，作者认为虽然有缺陷，但它有继续进化的潜能

6.3 继续进化

首先第2点诟病的理由是不对的，理解属于高度抽象的层面，而其载体不具备理解能力，那很正常，比如，细胞只能进行生化反应，巨量细胞构成的脑只能进行大量的生化反应，但是它们这些反应的集合体-意识，才有理解的能力；所以说计算机不理解，不能说明什么，也说明不了什么。

其次真正让它成为鹦鹉的原因是大数据小任务的特点，或者说，如果它理解了，根本不需要这么多的数据，比如有一句话叫举一反三，只要学习1条数据就能解决3个问题；链接http://www.sohu.com/a/227854954_297710对这些问题讲的很好。

“理解”这个词太抽象层次太高了，先撇开不说，对于第一个缺陷，那么有没有一种算法能够不用改变矩阵就能做出多种映射呢？答案是肯定的，下一章站在对立面的对立面来讨论这个问题。(有其他事，暂时终)

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