傅里叶变换的虚数部分

数据分析中用到傅里叶变换，只好把大学里学的云山雾绕的课本拿出来重修了一遍。傅里叶级数还好理解，傅里叶变换就有点摸不着头脑了。特别是里面的虚数部分，到底是什么意思？它到底是怎么跑出来的。为什么一个好好的实函数就变成虚函数了？还能不能一起玩耍了？
钻进了牛角尖，不搞清这个问题吃饭都不香了。网上傅里叶级数的资料很多，又是群理论，又是希尔伯特空间的，搞得俺这个工科生更是头大。忽然灵机一动，找到了原因所在（自认为），写出来与诸君共享，理解不对的地方大神指正。

一、傅里叶级数

这是比较好理解的，就是一个周期函数，可以分解成很多个简谐函数的叠加，其中有余弦分量和正弦分量，代表着简谐函数的相位。
这是傅里叶变换的公式：
f(x)=a0+∑k=1∞[akcos⁡(kx)+bksin⁡(kx)]f(x) = a_{0} + \sum_{k=1}^\infty \Bigl[ a_{k} \cos(kx) + b_{k}\sin(kx)\Bigr] f(x)=a0+k=1∑∞[akcos(kx)+bksin(kx)]

然后用欧拉公式：
eit=cos⁡(t)+isin⁡(t)e^{it} = \cos(t) +i\sin(t) eit=cos(t)+isin(t)
e−it=cos⁡(t)−isin⁡(t)e^{-it} = \cos(t) -i\sin(t) e−it=cos(t)−isin(t)
则：
cos⁡(t)=eit+e−it2\cos(t) = \frac{e^{it}+e^{-it}}{2} cos(t)=2eit+e−it
sin⁡(t)=eit−e−it2i\sin(t) = \frac{e^{it}-e^{-it}}{2i} sin(t)=2ieit−e−it
代入得：
f(x)=a0+∑k=1∞[akeikx+e−ikx2+bkeikx−e−ikx2i]f(x) = a_{0} + \sum_{k=1}^\infty \Bigl[ a_{k} \frac{e^{ikx}+e^{-ikx}}{2} + b_{k} \frac{e^{ikx}-e^{-ikx}}{2i}\Bigr] f(x)=a0+k=1∑∞[ak2eikx+e−ikx+bk2ieikx−e−ikx]
化简，注意1i=−i\frac{1}{i} = -ii1=−i ,得：
f(x)=a0+∑k=1∞[ak−ibk2eikx+ak+ibk2e−ikx]f(x) = a_{0} + \sum_{k=1}^\infty \Bigl[ \frac{a_{k}-ib_{k}}{2} e^{ikx} +\frac{a_{k}+ib_{k}}{2}e^{-ikx}\Bigr] f(x)=a0+k=1∑∞[2ak−ibkeikx+2ak+ibke−ikx]
关键的地方来了。1到∞\infty∞的-k是等于−∞-\infty−∞到-1的k的。注意上式中累加部分的第二部分可以改写为：
f(x)=a0+∑k=1∞ak−ibk2eikx+∑k=−∞−1ak+ibk2eikxf(x) = a0 + \sum_{k=1}^\infty \frac{a_{k}-ib_{k}}{2}e^{ikx} + \sum_{k=-\infty}^{-1} \frac{a_{k}+ib_{k}}{2}e^{ikx}f(x)=a0+k=1∑∞2ak−ibkeikx+k=−∞∑−12ak+ibkeikx
设一个分段序列cnc{n}cn:
ck={ak+ibk2−∞<k<=−1,a0k=0,ak−ibk21<=k<∞(1)c_{k}=\left\{ \begin{aligned} &\frac{a_{k}+ib_{k}}{2}\qquad& \text{$-\infty<k<=-1,$ } \\ &a{0}\qquad &\text{$k=0,$ } \\ &\frac{a_{k}-ib_{k}}{2}\qquad&\text{$1<=k<\infty$ } \end{aligned} \right. \tag{1} ck=⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎧2ak+ibka02ak−ibk−∞<k<=−1, k=0, 1<=k<∞ (1)
则：
f(x)=∑k=−∞∞ckeikxf(x) = \sum_{k=-\infty}^{\infty}c_{k}e^{ikx} f(x)=k=−∞∑∞ckeikx
就这样一个好好的实函数被转换成了复函数。这个证明的过程并不规范，但意思是大概齐的。那么，从这个证明过程中我们能获得哪些信息呢？

ckc_{k}ck是复数，这也是为什么fft的结果是复数。
ckc_{k}ck以y轴为对称点，两侧的实部是相同的，虚部是相反的，即相互共轭。这带来的结果有两点，1）当画出ckc_{k}ck的振幅图的时候，图像是对称的，但实际上它并不是偶函数。2）可以证明ckeikxc_{k}e^{ikx}ckeikx和c−kei(−k)xc_{-k}e^{i(-k)x}c−kei(−k)x也是共轭的，所以两者相加的时候，实部乘2，虚部抵消，所以傅里叶变换和其逆变换的结果仍然是实函数。
由于ckc_{k}ck和c−kc_{-k}c−k是共轭的，所以只看半边的ckc_{k}ck就可以获得所有的信息，包括频率的振幅和相位信息。

二、傅里叶变换

傅里叶变换是在傅里叶级数上的拓展。我们在讨论傅里叶级数的时候有一个前提，就是f(x)f(x)f(x)是在(−π,π)(-\pi,\pi)(−π,π)上的周期函数。把周期的边界扩展为(−∞,∞)(-\infty,\infty)(−∞,∞),同时把k由自然数扩展到整个实数坐标轴上，傅里叶级数就变成了傅里叶变换。
f(x)=12π∫−∞∞f^(λ)eiλxdλf(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}\hat{f}(\lambda)e^{i\lambda x}d\lambda f(x)=2π1∫−∞∞f^(λ)eiλxdλ
傅里叶变换和傅里叶级数非常相似，很多性质也是近似的，也可以用类似的方法予以证明。比方说，在λ\lambdaλ和−λ-\lambda−λ两个点上，f^(λ)\hat{f}(\lambda)f^(λ)和f^(−λ)\hat{f}(-\lambda)f^(−λ)也是共轭的，也有着和傅里叶级数一样的性质。
所以f^(λ)\hat{f}(\lambda)f^(λ)虽然是一个复函数，但如果把y轴两侧对应起来，即把(−∞,0)(-\infty,0)(−∞,0)折到(0,∞)(0,\infty)(0,∞)上，仍然可以获得一个实函数。
本身，我们知道，λ\lambdaλ对应的物理意义是频率，而负频率是没有意义的。因此对应到一个函数的频谱强度，这应该还是一个实函数，只是用复函数的形式来表达了。
这样做的意义在于eite^{it}eit这个函数有许多有用的计算性质，可以极大地简化许多推导过程。

三、总结

好了，说了这么多，其实就是回答了这样一个问题：为什么fft()的结果是复数？
我会说我写这些是为了学习LaTex语言吗？