鲁棒优化入门（一）——工具箱Xprog和RSOME的安装与使用
工具箱可以从这里下载：鲁棒优化工具箱Xprog和RSOME
一、Xprog
1.工具箱简介
Xprog是由新加坡国立大学的Peng Xiong于2016年发布的一款matlab工具箱，可以用于求解确定性优化、随机优化、鲁棒优化和分布式鲁棒优化问题。目前文献中很常见的多阶段鲁棒优化问题，同样可以利用Xprog工具箱进行求解。
对于鲁棒优化的的求解方法，一般都是通过求对偶将鲁棒优化的目标函数进行转换，再采用常规方法进行求解，但求对偶问题的过程还是比较麻烦，很容易出问题。利用工具箱Xprog的话，就是帮你把求对偶，求解模型的过程封装起来，只需要给定决策变量，不确定集以及约束条件，就可以快速求出结果，省去繁琐的中间不走。另外，工具箱默认求解器是cplex，如果你用的是cplex教育版，可问题的规模是有限制的，使用xprog求解大规模问题时很有可能会报错。
2.工具箱的下载安装
Xprog工具箱的下载方式，可以参考这篇文章：
【学界】XPROG: 简单实用的鲁棒优化(RO, DRO)编程语言
安装步骤如下：
step1.下载完成之后，可以先将解压之后的文件放在matlab的toolbox文件夹下：
step2.点击设置路径，将Xprog添加到matlab搜索路径中：
step3.在matlab命令行中输入configure并回车，如果使用的是cplex12.6.1-3之间的版本，直接输入对应的数字就可以安装：
如果使用的是其他版本的cplex，则需要事先安装一个兼容的C/C++编译器，然后在命令行输入mex-setup命令激活matlab和C++的混合编译，然后再运行configure，这样也可以顺利安装Xprog工具箱。
混合编译的步骤可以参考这篇博客：
matlab mex -setup错误解决方法
提示“Xprog configuration completed!”就代表工具箱配置成功了。
step4.如果使用了其他版本的matlab，最后还需要把cplex根目录(cplex/bin)中的cplexxxx.dll文件复制到Xprog工具箱的functions文件夹中，就完成了Xprog的安装。
3.工具箱测试
以下算例都来自Xprog用户手册：
3.1 算例1：简单线性规划
matlab代码：
model=xprog('Simple LP'); % 新建一个名为"Simple LP"的Xprog模型x=model.decision; % 给模型新增一个变量x
y=model.decision; % 给模型新增一个变量ymodel.max(3*x+4*y); % 目标函数，求maxmodel.add(2.5*x+y<=20); % 增加第1个约束条件
model.add(3*x+3*y<=30); % 增加第2个约束条件
model.add(x+2*y<=16); % 增加第3个约束条件
model.add(x>=0); % x的范围
model.add(y>=0); % y的范围model.solve; % 求解模型Obj=model.get % 求解目标函数值
X =x.get % 求x的取值
Y =y.get % 求y的取值运行结果：
3.2 算例2：随机规划问题
一家家具公司生产的书桌(desks)、餐桌(tables)和椅子(chairs)，售价分别为60美元、40美元和10美元。每种产品的制造都需要木材(lumber)和两种工人：安装工(finishing)和木工(Carpentry)。下表列出了每种资源的成本和制造每种类型的家具所需的数量：
在这个问题中，每个产品的需求都是不确定的。不确定的需求有三种情况：“需求低(low)”、“需求还行(most likely)”和“需求多(high)”。各情景和相关概率的结果如下表：
matlab代码：
model=xprog('SP Example'); % 新建一个名为"SP Example"的xprog模型x=model.decision(3); % 第一阶段的决策变量x
y=cell(1,3); % 新建三维元胞变量y，分别表示三个场景
for s=1:3y{s}=model.decision(3); % 为场景s定义第二阶段决策变量y(s)
endP= [0.3 0.4 0.3]; % 三个场景的概率
c=-[2 4 5.2]; % 第一阶段目标函数的系数
q= [60 40 10]; % 第二阶段目标函数的系数
Exp=0;
for s=1:3Exp=Exp+P(s)*q*y{s}; % 第二阶段目标函数的期望
end
model.max(c*x+Exp);W=[8 6 1; % 定义约束矩阵4 2 1.5;2 1.5 0.5];
D=[50 150 250; % 定义随机的需求矩阵20 110 250;200 225 500];
for s=1:3model.add(W*y{s}-x<=0); % 添加约束条件add 1st~3rd constraintsmodel.add(y{s}>=0); % y(s)的范围model.add(y{s}<=D(:,s)); % 需满足需求的约束
end
model.add(x>=0) % x的范围model.solve; % 求解问题Obj=model.get % 目标函数取值
X =x.get % 变量x的取值运行结果：
3.3算例3：鲁棒优化问题
假设一共有150种股票可供选择，股票i的不确定收益用表示，其取值满足约束条件：
，其中，
表示股票i的期望收益，
表示股票i的偏差，不确定集可以用一范数和无穷范数表示为：
该投资组合问题的鲁棒优化模型可以表示为：
在本例中，假设Γ=5，参数pi和σi满足如下公式：
这两个方程表明，期望收益较高的股票也具有较高的不确定性水平。
matlab代码表示为：
n = 150; % 股票的数量
p = 1.15+ 0.05/150*(1:n)'; % 期望的收益
sigma = 0.05/450*sqrt(2*n*(n+1)*(1:n)'); % 收益的偏差
Gamma = 5;model=xprog('portfolio'); % 新建一个xprog模型x=model.decision(n); % 决策变量x% 随机变量和不确定集
z=model.random(n); % 与期望收益之间的不确定偏差z
u=model.random(n); % z的绝对值
model.uncertain(abs(z)<=1); % z的无穷范数小于1
model.uncertain(abs(z)<=u); % 用u表示z的绝对值
model.uncertain(sum(u)<=Gamma); % z的1范数小于Γr = p + sigma.*z; % 股票的不确定性收益
model.max(r'*x) % 目标函数
%model.add(a<=r'*x); % a是目标的下界
model.add(sum(x)==1); % x的约束条件
model.add(x>=0); % x的范围model.solve; % 求解鲁棒优化问题
Obj=model.get % 目标函数取值
plot(x.get) % 图形表示购买股票的比例
运行结果
可以看到，对于简单的确定性优化问题、随机规划问题与鲁棒优化，Xprog都可以快速求解，功能还是比较强大的。
二、RSOME
1.工具箱简介
还有一个针对鲁棒随机优化设计的matlab工具箱——RSOME(Robust Stochastic Optimization Made Easy)，也可以用来解决一般的线性规划、随机规划、鲁棒优化和数据驱动的分布式鲁棒优化问题。Xprog的作者是Dr. Peng Xiong，他也是RSOME的三位作者之一，两个工具箱的编程思路和数据格式都是比较类似的。
Xprog求解优化时调用的是cplex求解器；RSOME的默认求解器是cplex，但是同样支持gurobi或mosek求解器。
2.工具箱的下载安装
直接去官网下载就可以：
Robust Stochastic Optimization Made Easy
安装步骤比较简单：
安装步骤如下：
step1.下载完成之后，可以先将解压之后的文件放在matlab的toolbox文件夹下：
step2.点击设置路径，将RSOME添加到matlab搜索路径中即可：
3.工具箱测试
以下算例都来自于RSOME工具箱用户手册：
3.1简单线性规划
matlab代码：
model = rsome('LP Exmaple'); % 新建一个名为"LP Example"的模型x = model.decision; % 决策变量x
y = model.decision; % 决策变量ymodel.max(3*x + 4*y); % 目标函数model.append(2.5*x + y <= 20); % 约束条件1
model.append(x + 2*y <= 16); % 约束条件2
model.append(abs(y) <= 4); % 约束条件3model.solve; % 求解问题Obj = model.get; % 目标函数取值
X = x.get; % 变量x取值
Y = y.get; % 变量y取值运行结果：
3.2 鲁棒优化问题
对于上文中提到的股票投资组合问题，是一个典型的鲁棒优化问题：
同样可以采用RSOME进行数学建模，matlab代码如下：
n = 150; % 股票数量
p = 1.15+ 0.05/150*(1:n)'; % 期望收益
sigma = 0.05/450*sqrt(2*(1:n)'*n*(n+1)); % 偏差
Gamma = 3;model=rsome('portfolio'); % 新建一个名为"portfolio"的rsome模型x=model.decision(n); % 决策变量xz=model.random(n); % 与期望收益之间的不确定性偏差P = model.ambiguity; % 模型的模糊集集
P.suppset(norm(z, Inf) <= 1, ...norm(z, 1) <= Gamma); % z的不确定集合表示
model.with(P); % 将P表示为模型的模糊集r = p + sigma.*z; % 股票的不确定收益
model.max(r'*x) % 目标函数
model.append(sum(x)==1); % 约束条件
model.append(x>=0); % x的范围model.solve; % 求解问题
plot(x.get) % 画图表示
Obj=model.get; % 目标函数取值
运行结果：
3.3 分布式鲁棒优化问题
考虑一个单产品的报童问题，报童问题是一个典型的存贮问题，也可以用分布式鲁棒优化模型来表示。假设p为一份报纸的售价，c为一份报纸的成本，w为决策变量，表示报童订购的报纸数，为用户的不确定性需求，
。
是一个随机变量，服从于概率分布
，即
，概率分布
包含于模糊集
，也就是
。用Wasserstein模糊集表示为：
式中，S是样本数量，是Wasserstein球半径，
为场景s下需求
的估计值，
表示两者之间的Wasserstein距离，通过引入一个中间变量
，可以把模糊集改写为如下形式：
则该问题的分布式鲁棒优化模型可以表示为：
取p=1.5,c=1,=100,S=500,
=0.01,则该鲁棒优化问题可以用matlab代码表示为：
%% 参数
Ubar = 100; % 不确定需求的上限
S = 500; % 样本数
Uhat = Ubar * rand(1, S); % 需求的经验分布p = 1.5; % 一份报纸的售价
c = 1.0; % 一份报纸的成本
theta = Ubar*0.01; % Wasserstein球半径%% Create a RSOME model
model = rsome('newsvendor'); % 创建一个名为"newsvendor"的rsome模型%% Random variables and a type-1 Wasserstein ambiguity set
u = model.random; % 不确定的需求变量u
v = model.random; % 中间变量v
P = model.ambiguity(S); % 创建具有S个场景的模糊集
for n = 1:SP(n).suppset(0 <= u, u <= Ubar, ... norm(u-Uhat(n)) <= v );% 定义每个场景的支持集
end
P.exptset(expect(v) <= theta);
prob = P.prob; % 所有场景的概率分布函数
P.probset(prob == 1/S); % 每个场景的概率
model.with(P); % 将P定义为模型的模糊集%% 决策变量
w = model.decision; % 决策变量w%% 目标函数
loss = maxfun({p*(w-u), 0}); % 未售出部分造成的损失
model.max((p-c)*w - expect(loss)); % 分布式鲁棒优化的目标函数%% 约束条件
model.append(w >= 0); % w的取值范围%% 求解问题
model.solve; % 求解模型%% 结果
obj=model.get; % 目标函数取值
W=w.get; % 决策变量取值
disp(['目标函数取值：',num2str(obj),'，决策变量取值：',num2str(W)])运行结果：
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