鲁棒优化入门（二）——基于matlab+yalmip求解鲁棒优化问题
上一篇博客简单介绍了可以用来求解鲁棒优化的两个工具箱：
鲁棒优化入门（一）——工具箱Xprog和RSOME的安装与使用
其实大家可能没有想过，matlab+yalmip工具箱也可以处理一些简单的鲁棒优化问题，上官方文档：Robust optimization - YALMIP
这里就和大家一起学习一下使用yalmip+cplex求解鲁棒优化问题的方法。
一、yalmip求解鲁棒优化
鲁棒优化问题可以表示为如下的一般形式：
式中，x表示决策变量，w表示不确定变量。这个表达式的含义就是在最恶劣的情况下（w的取值使目标函数最大），求出满足约束条件，并且能使目标函数最小的决策变量x。
但yalmip工具箱求解鲁棒优化问题时还是有一定局限性的，并不能处理任意形式的不确定集下的鲁棒优化问题，一般来说，当鲁棒优化问题的不确定集合为箱型不确定集、椭球不确定集以及多面体不确定集时，都可以用yalmip工具箱求解（具体细节可参考官方文档）。
二、示例代码
1.实例1：线性规划问题
考虑一个简单线性规划问题：
这个问题中不确定变量w仅存在于约束条件中，目标函数中不包含不确定变量。显然，当w=0.5时是最恶劣的情况，此时f(x)的最大值为0.5。采用yalmip编程验证一下：
sdpvar x w % 定义变量
C = [x+w <= 1]; % 约束条件
W = [-0.5 <= w <= 0.5, uncertain(w)]; % 不确定集
objective = -x; % 目标函数
sol = optimize(C + W,objective); % 求解模型
obj=-value(objective); % 目标函数取值
x=value(x); % 决策变量x取值对于不确定变量w，需要用uncertain()函数将其规定为不确定变量。另外，还可以先将鲁棒优化存为yalmip模型，然后再进行求解：
[Frobust,robust_objective] = robustify(C + W,objective); % 导出鲁棒优化模型
sol = optimize(Frobust,robust_objective); % 求解鲁棒优化模型运行结果：
显然，和我们一眼看出的结果是一样的。
对于决策变量为整数或含有逻辑约束的鲁棒优化问题，yalmip同样可以求解，例如：
matlab代码为：
intvar x
sdpvar w % 定义变量
C = [x+w <= 2]; % 约束条件
W = [-0.5 <= w <= 0.5, uncertain(w)]; % 不确定集
objective = -x; % 目标函数
sol = optimize(C + W,objective); % 求解模型
obj=-value(objective); % 目标函数取值
x=value(x); % 决策变量x取值运行结果：
2.实例2：含椭球不确定集的鲁棒优化问题
考虑一个含有椭球不确定集的鲁棒优化问题：
这个问题中不确定变量w仅存在于约束条件中，目标函数中不包含不确定变量。假设n=2，也不难看出，当w1=w2=0.5时，属于最恶劣的场景，此时f(x)最大值为0。编程验证一下：
sdpvar x w(2,1) % 定义变量
C = [x+sum(w) <= 1]; % 约束条件
W = [norm(w) <= 1/sqrt(2), uncertain(w)]; % 不确定集
objective = -x; % 目标函数
sol = optimize(C + W,objective); % 求解模型
obj=-value(objective); % 目标函数取值
x=value(x); % 决策变量x取值运行结果：
小伙伴们可能有点奇怪，说好的最优值是零呢？怎么是一个负数？其实，我们应该知道matlab的计算精度是有限的，eps表示MATLAB默认的最小浮点数精度(默认是eps(1))：
所以这个结果应该就是计算误差。
3.实例3：含不确定性的平方和(SOS,Sum of squares)规划问题
考虑如下的SOS规划问题，其中a为整数变量，取值范围[3,5]
这玩意就没法直接看出最优解了，直接上代码：
intvar a
sdpvar x y t u % 定义决策变量
p = a*x^4+y^4+u*x*y+1; % 多项式表示
F = [uncertain(u), -1<=u<=1]; % 不确定集
F = [F, a>=3, a<=5]; % 约束条件a∈[3,5]
F = [F, sos(p-t)]; % 多项式约束
solvesos(F, -t) % 求解模型
A=value(a); % 决策变量a的取值
T=value(t); % 目标函数t的取值运行结果：
可以看出，当a=5时，目标函数t取得最大值，为0.9437。
上面三个例子都是yalmip官方文档中的示例，下面来看一个实际问题：
4.实例4：股票投资问题
假设一共有150种股票可供选择，第i个股票的不确定收益用表示，其取值满足约束条件：
，其中，
表示股票i的期望收益，
表示股票i的偏差，不确定集可以用1范数和无穷范数表示为：
该投资组合问题的鲁棒优化模型可以表示为：
在本例中，假设Γ=5，参数pi和σi满足如下公式：
求解该问题的matlab代码如下：
n = 150; % 股票的数量
p = 1.15+ 0.05/150*(1:n)'; % 期望的收益
sigma = 0.05/450*sqrt(2*n*(n+1)*(1:n)'); % 收益的偏差
gamma=5; % 不确定预算
z=sdpvar(n,1); % 不确定变量z
x=sdpvar(n,1); % 决策变量x
C=[sum(x)==1,x>0]; % x的约束条件
Z=[norm(z,Inf)<=1,norm(z,1)<=gamma,uncertain(z)]; % 不确定集
objective = -(p + sigma.*z)'*x; % 目标函数
sol = optimize(C+Z,objective); % 求解模型
x=value(x); % 决策变量x取值
plot(x) % 画出图像运行结果：
和RSOME工具箱的求解结果一致。
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