微积分近似计算公式：中点、梯形、辛普森

微积分近似计算公式，可以帮助我们在不了解积分原函数的情况下，即无法采用牛顿-莱布尼茨公式求解微积分，可以采用一些近似计算公式来获得近似结果：

中点公式：

function res = mid(f,a,b)res = (b - a) * feval(f, 0.5 * (a + b));
end

梯形公式：

function res = trapz(f,a,b)res = 0.5 * (b - a) * (feval(f,a) + feval(f,b));
end

辛普森公式：

function res = simpson(f,a,b)res = 1 / 6 * (b - a) * (feval(f,a) + 4 * feval(f,0.5 * (a + b)) + feval(f,b));
end

在以上公式的基础上，采用定步长分段来近似计算微积分结果：

复合中点公式：

function res = fmid(f,a,b,n)h = (b - a) / n;x = linspace(a + h / 2,b - h / 2,n);y = feval(f,x);res = h * sum(y);
end

复合梯形公式：

function res = ftrapz(f,a,b,n)h = (b - a) / n;x = linspace(a,b,n + 1);y = feval(f,x);res = 0.5 * h * (y(1) + 2 * sum(y(2:n)) + y(n + 1));
end

复合辛普森公式：

function res = fsimpson(f,a,b,n)h = (b - a) / n;x = linspace(a,b,2 * n + 1);y = feval(f,x);res = (h / 6) * (y(1) + 2 * sum(y(3:2:2 * n - 1)) + 4 * sum(y(2:2:2 * n)) + y(2 * n + 1));
end

我们采用一个简单测试函数，来验证一下近似公式的精度：

function testa = 2;b = 20;f = @(x) x.^(-1);n = 50;true_val = log(b) - log(a);mid_val = mid(f,a,b);trapz_val = trapz(f,a,b);simpson_val = simpson(f,a,b);fmid_val = fmid(f,a,b,n);ftrapz_val = ftrapz(f,a,b,n);fsimpson_val = fsimpson(f,a,b,n);
end

精度如下：

true	2.302585092994046
mid	1.636363636363637
trapz	4.950000000000000
simpson	2.740909090909091
fmid	2.301256120284895
ftrapz	2.305249476494972
fsimpson	2.302587239021587

复合辛普森公式的近似精度还是比较高的

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