问题描述

假设当前给出一组算式 5 - 8 + 7 * 4 - 8 + 9，在你只能加括号的情况下，怎样去获取其最大值？

比如：

1. ( 5 - 8 ) + ( 7 x 4 ) - ( 8 + 9) = 8

2. ( 5 - 8 + 7 ) x ( 4 - 8 + 9 ) = 25

算法解析

假设我们用下图来代表这个算式。d1表示第一个数字，dn表示最后一个数字。op表示的是运算符号（运算符号可以为 + - *），op1表示的是d1和d2之间的运算符号，以此类推。

算法思路：要获得这个算式结果的最大值，我们要用到dynamic programming的逻辑，先计算出更小的算式的结果，然后再去找到原等式结果的最大值。

比如我们要计算 ( 5 - 8 + 7 ) 的值，我们的思考逻辑如下：

1. 假设先计算 5 - 8 的值，-3 + 7 = 4 --> 即最后一步做加法运算

2. 假设先计算 8 + 7 的值，5 - 15 = -10 --> 即最后一步做减法运算

因此针对 ( 5 - 8 + 7 ) ：

其结果的最小值：min ( 5 - 8 + 7 ) = -10

其结果的最大值：max ( 5 - 8 + 7 ) = 4

推论：
1. 如果我们要求算式 1 - ( 5 - 8 + 7) 的最大值。

可以知道此时 1 - ( -10 ) 的值更大，因此我们要使用 min ( 5 - 8 + 7 )

2. 如果我们要求算式 1 + ( 5 - 8 + 7) 的最大值。

可以知道此时 1 + 4 的值更大，因此我们要使用 max ( 5 - 8 + 7 )

结论：

1. 如果算式中有多个运算符，我们依次假设当前运算符为最后一次运算

2. 针对运算符号左侧和右侧的算式，我们分别要计算出其最小值和最大值
--> 即针对任意的算式，我们都要分别获得其最大值和最小值

获取子算式的最大值和最小值

以 5 - 8 + 7 * 4 - 8 + 9 为例，假设当前最后一次做的是乘法：

即 ( 5 - 8 + 7 ) * ( 4 - 8 + 9 )

1. 左边的最小值：min( 5 - 8 + 7 ) = ( 5 - ( 8 + 7 )) = -10

2. 左边的最大值：max( 5 - 8 + 7 ) = (( 5 - 8 ) + 7) = 4

3. 右边的最小值：min( 4 - 8 + 9 ) = ( 4 - ( 8 + 9 )) = -13

4. 右边的最大值：max( 4 - 8 + 9 ) = (( 4 - 8 ) + 9 ) = 5

在知道运算符号两边算式的最大值和最小值后，由于我们不知道怎样相乘能够得到最大值，因此我们要遍历所有情况：

1. a = max(左边) * max(右边) = 4 * 5 = 20

2. b = max(左边) * min(右边) = 4 * -13 = -52

3. c = min(左边) * min(右边) = -10 * -13 = 130

4. d = min(左边) * max(右边) = -10 * 5 = -50

由此可见，当最后一步为乘法的时候，

算式的最大值为：max ( a, b, c, d ) = 130

算式的最小值为：min ( a, b, c, d ) = -52

公式推理：

假设 M( i , j ) 表示算式结果的最大值

假设 m( i , j ) 表示算式结果的最小值

假设我们最后一步要进行的运算方式为 opk (可能是乘法，加法，或是减法)：

for k from i to j

如何获 i 和 j，即如何获取子算式？

假设我们有这样的两个表格，一个表格用于填写算式的最大值，一个表格用于填写算式的最小值。注：上图中5和8之间的运算符号是减号，8和7之间的运算符号是加号...

红色格子（0，1）：表示 5 - 8 能够得到的最大值（最小值）
绿色格子（1，3）：表示 8 + 7 * 4 能够得到的最大值（最小值）
紫色格子（1，4）：表示 8 + 7 * 4 - 8 能够得到的最大值（最小值）
蓝色格子（2，5）：表示 7 * 4 - 8 + 9 能够得到的最大值（最小值）

因此，要知道5 - 8 + 7 * 4 - 8 + 9能够得到的最大值，我们只需要知道在填写最大值的表格里面，格子（0，5）的值是多少即可。

获取格子中的值

假设我们要获取（1，4）的最大值和最小值，即 8 + 7 * 4 - 8 的最大值和最小值。

根据上方“公式推理”中的逻辑我们可以知道：

1. 当k为1的时候 --> 最后的运算符号为 + ：

a = M(1,1) + M(2,4)

b = M(1,1) + m(2,4)

c = m(1,1) + m(2,4)

d = m(1,1) + M(2,4)

max(1,4) = max (a, b, c, d)

min(1,4) = max (a, b, c, d)

2. 当k为2的时候 --> 最后的运算符号为 * ：

a = M(1,2) * M(3,4)

b = M(1,2) * m(3,4)

c = m(1,2) * m(3,4)

d = m(1,2) * M(3,4)

max(1,4) = max (a, b, c, d)

min(1,4) = max (a, b, c, d)

3. 当k为3的时候 --> 最后的运算符号为 - ：

a = M(1,3) - M(4,4)

b = M(1,3) - m(4,4)

c = m(1,3) - m(4,4)

d = m(1,3) - M(4,4)

max(1,4) = max (a, b, c, d)

min(1,4) = max (a, b, c, d)

由此可见，要获得下图中红色格子（1，4）的值，我们要先知道如下蓝色格子中的值。

同理要获得下图中红色格子（1，2）的值，我们要先知道如下蓝色格子中的值。

由此我们可以推断，要获得右上方格子里的值，我们要先获得靠近对角线上的格子里的值。即先获对角线上的格子里的值（黑色的线），再获取只有两个数字的算式的值（红色的线），然后在获取只有3个数字的算式的值（紫色的线），以此类推最后获取到原算式的值。

代码逻辑如下

Implementation

def evalaa(a,b,op):if op == '+':return a + bif op == '-':return a - bif op == '*':return a * b#计算坐标对应的算式的最大值和最小值
def min_and_max(i, j, M, m):min_value = float('inf') #初始化要计算的格子里的最小值是正无穷max_value = float('-inf') #初始化要计算的格子里的最大值是负无穷for k in range(i,j):a = evalaa(M[i][k], M[k+1][j], op[k])b = evalaa(M[i][k], m[k+1][j], op[k])c = evalaa(m[i][k], m[k+1][j], op[k])d = evalaa(m[i][k], M[k+1][j], op[k])min_value = min(min_value, a, b, c, d)max_value = max(max_value, a, b, c, d)return (min_value, max_value)def parentheses(op, numbers):n = len(numbers)M = [[0 for x in range(n)] for x in range(n)] #创建存放最大值的表格m = [[0 for x in range(n)] for x in range(n)] #创建存放最小值的表格#将表格对角线上的格子的值填充为本身（1个数字的算式不涉及运算因此是本身）for i in range(n):m[i][i] = int(numbers[i])M[i][i] = int(numbers[i])#按照一定逻辑依次获取坐标位置for s in range(1, n):for i in range(0,n-s):j = i + sm[i][j], M[i][j] = min_and_max(i,j,M,m)return M[0][n-1]dataset = '5-8+7*4-8+9'
op = dataset[1:len(dataset):2]
numbers = dataset[0:len(dataset)+1:2]print(parentheses(op, numbers))

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