Codeforces 1579G. Minimal Coverage

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题目大意

有 n 根棍子，每根棍子有头有尾，长度不一。第一根棍子的尾巴放置在一维坐标轴 0 的位置，第二根棍子棍尾紧挨着第一根棍子的头放置，这样依次放置所有棍子，每根棍子放置方向可正可反。求所有棍子放完后，这些棍子覆盖一维坐标轴最小的长度是多少？

分析

坦率地讲，这题使用DP求解时，状态转移方程并不好想。如果把函数 F ( i , j ) F(i, j) F(i,j) 设想成前 i i i 到第 j j j 根棍子依序放置后最小的覆盖长度，那其最优解与子问题 F ( i , k ) ( i ≤ k ≤ j ) F(i, k) (i \le k \le j) F(i,k)(i≤k≤j) 并不存在必然联系。
暴力解法是直接求解 2 n 2^n 2n 种放置方案，求最小覆盖长度即可。但稍作思考就可以发现最终覆盖长度肯定不会超过最长棍子的两倍，在题目中也就是1000*2。这样实际上 2 n 2^n 2n 种放置方案中，覆盖长度超过2000的我们完全可以丢弃。那转换一下思维再回到DP求解，把dp矩阵中某个维度设为当前位置即可急剧缩小求解空间。我们可以将状态函数表达成：

F [ i , j ] F[i, j] F[i,j] 是放置前 i i i 根棍子后，当前位置在坐标 j j j 时，覆盖长度的最小值。

如果对于某些 j j j 值，这样的方案还不存在，那函数值就设置为最大值。
那DP的求解过程就是从第 F [ 1 , a [ 1 ] ] F[1, a[1]] F[1,a[1]]开始，每根棍子正放或反放，在 F [ i , j ] F[i, j] F[i,j] 所表示的三维高原淌出一条条深沟。那些会让 j j j 值超过2000的沟沟不继续走下去就是了。
如果反放第 i i i 根棍子时会导致 j < 0 j < 0 j<0，那么把最左端移到零点即可，我们只关心相对位置。

#include <cstdio>#define MAXN 10002
#define MAXEND  2000#define min(x,y)  ((x)>(y)?(y):(x))
#define max(x,y)  ((x)>(y)?(x):(y))int dp[MAXN][MAXEND+2];
int a[MAXN];int main() {int T, n;scanf("%d", &T);for (int tt = 0; tt < T; tt++) {scanf("%d", &n);for (int i = 1; i <= n; i++)scanf("%d", &a[i]);for (int i = 1; i <= n; i++)for (int j = 0; j <= MAXEND; j++)dp[i][j] = 65535;dp[1][a[1]] = a[1];for (int i = 2; i <= n; i++) {for (int j = 0; j <= MAXEND; j++) {if (a[i] + j <= MAXEND)     // 超过MAXEND的路径不考虑dp[i][j + a[i]] = min(dp[i][j + a[i]], max(j + a[i], dp[i - 1][j]));if (j - a[i] >= 0)dp[i][j - a[i]] = min(dp[i][j - a[i]], dp[i - 1][j]);elsedp[i][0] = min(dp[i][0], a[i] - j + dp[i - 1][j]);}}int ans = 65535;for (int j = 0; j <= MAXEND; j++)ans = min(ans, dp[n][j]);printf("%d\n", ans);}return 0;
}

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