Pyomo/python_02 微分代数方程定义

本文介绍如何用微分代数方程(DAEs)来表示和求解最优化问题。pyomo.dae包允许用户轻松地将详细的动态模型合并到优化框架中，并具有足够的灵活性来表示各种各样的微分方程，并演示了pyomo中包含的几种自动化解决方案技术。该方法采用同时离散化方法求解动态优化问题。

【1】建模组建

为了用Pyomo来代表DAE模型，Pyomo.dae包定义了两个新组件：

ContinuousSet：有界连续集
DerivativeVar：表示变量对连续集的导数
Integral：连续域上积分

导入包以访问建模组件：

from pyomo.environ import *

from pyomo.dae import *

连续域声明如下：

m.tf = Param(initialize=1)
m.t = ContinuousSet(bounds=(0,m.tf))

必须为模型中每个连续域声明单独的ContinuousSet，为动态模型中每个导数声明DerivativeVar，只能对作为变量索引集的ContinuousSet的变量求导。

m.u = Var(m.t, initialize=0)
m.x1 = Var(m.t)
m.x2 = Var(m.t)
m.dx1 = DerivativeVar(m.x1, wrt=m.t)
m.dx2 = DerivativeVar(m.x2)

如果一个变量被多个连续集索引，则使用“wrt”或“withresptto”关键字参数指定所需的导数，高阶导数为：

m.dx1dt2 = DerivativeVar(m.x1,wrt=(m.t,m.t))

【2】微分定义范例

>>> from pyomo.environ import *
>>> from pyomo.dae import *>>> model = ConcreteModel()
>>> model.s = Set(initialize=['a','b'])
>>> model.t = ContinuousSet(bounds=(0,5))
>>> model.l = ContinuousSet(bounds=(-10,10))>>> model.x = Var(model.t)
>>> model.y = Var(model.s,model.t)
>>> model.z = Var(model.t,model.l)# x对t的一阶导数
model.dxdt = DerivativeVar(model.x, withrespectto=model.t)# y对t的二阶导数，注意微分y被两个连续集索引
>>> model.dydt2 = DerivativeVar(model.y, wrt=(model.t,model.t))# z对x的偏导，注意z被t和l索引
>>> model.dzdl = DerivativeVar(model.z, wrt=(model.l), initialize=0)# z对t和l二阶混合偏导，设置边界
>>> model.dz2 = DerivativeVar(model.z, wrt=(model.t, model.l), bounds=(-10, 10))‘initialize’初始化导数值，与指定初始条件不同；初始条件或边界条件应该使用约束或约束列表来指定，或者通过在边界点固定Var的值来指定。

【3】微分方程定义范例

>>> from pyomo.environ import *
>>> from pyomo.dae import *>>> model = ConcreteModel()
>>> model.s = Set(initialize=['a', 'b'])
>>> model.t = ContinuousSet(bounds=(0, 5))
>>> model.l = ContinuousSet(bounds=(-10, 10))>>> model.x = Var(model.s, model.t)
>>> model.y = Var(model.t, model.l)
>>> model.dxdt = DerivativeVar(model.x, wrt=model.t)
>>> model.dydt = DerivativeVar(model.y, wrt=model.t)
>>> model.dydl2 = DerivativeVar(model.y, wrt=(model.l, model.l))# 常微分方程
>>> def _ode_rule(m, s, t):
...    if t == 0:
...       return Constraint.Skip
...    return m.dxdt[s, t] == m.x[s, t]**2
>>> model.ode = Constraint(model.s, model.t, rule=_ode_rule)# 偏微分方程
>>> def _pde_rule(m, t, l):
...    if t == 0 or l == m.l.first() or l == m.l.last():
...       return Constraint.Skip
...    return m.dydt[t, l] == m.dydl2[t, l]
>>> model.pde = Constraint(model.t, model.l, rule=_pde_rule)默认情况下，在连续集上声明的约束将应用于集合中包含的每个离散点，通常不希望在连续域的一个或两个边界处强制执行微分方程，可以使用 Constraint.Skip解决或者在将模型发送到求解器之前停用所需的约束，如下。如果使用pyomo.DAE Simulator 必须使用constraint deactivation代替constraint skipping。

>>> def _ode_rule(m, s, t):
...    return m.dxdt[s, t] == m.x[s, t]**2
>>> model.ode = Constraint(model.s, model.t, rule=_ode_rule)>>> def _pde_rule(m, t, l):
...    return m.dydt[t, l] == m.dydl2[t, l]
>>> model.pde = Constraint(model.t, model.l, rule=_pde_rule)# 声明其他组件并离散化转换
...#边界点微分方程失效
>>> for con in model.ode[:, model.t.first()]:
...    con.deactivate()>>> for con in model.pde[0, :]:
...    con.deactivate()>>> for con in model.pde[:, model.l.first()]:
...    con.deactivate()>>> for con in model.pde[:, model.l.last()]:
...   con.deactivate()Solve the model
...

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