第十六讲 傅里叶级数拓展
一,推论:
一个函数不能有两个不同的傅里叶级数,因为傅里叶系数公式表明
对应唯一的
和
。
二,奇偶性(缩减计算):
- 如果
是偶函数,即
,y轴对称,那么
,
,
- 证明:
- 如果
是偶函数,那么
是偶函数,
- 因此,
,
因为
是偶函数
- 如果
是奇函数,即
,原点对称,那么
,
,
- 证明:同上
- 如果
是奇函数,那么
也是偶函数(奇X奇=偶),
- 因此,
,
因为
是奇函数
三,傅里叶级数与泰勒级数的不同之处:
- 图上
是奇函数,
- 分部积分法:设
,
,
- 结果:
- 结果说明:傅里叶级数和泰勒级数不同之处在于,它不是从中心点(部分)开始逐渐趋近函数,而是从整个区间(整体)开始逐渐趋近函数。视频25:30~29:30
四,收敛性:
- 如果函数
在点
附近连续,那么傅里叶级数是收敛的,公式
成立
- 如果函数
的
点为跳跃间断点,那么傅里叶级数在该点收敛于“跳跃的中点”,如图:
,当
时,
五,拓展1:
- 基本概念厘清:
,
:弧度=角速度x时间
,
:角速度(或用
表示)=整周弧度x频率(本该用f表示,这里与函数f矛盾,所以用k表示)
,整周弧度=弧度/周,周无量纲
:周期=时间/周
:频率=周/时间
:频率=1/周期
- 如果把周期
的函数
变为周期
的函数
- 基频率
,基频率
无量纲,跟频率
不同,它只是一个比值
- 因为
,所以
,
,n为任意整数
,n为任意整数
- 如果
是偶函数,那么
,
- 如果
是奇函数,那么
,
六,拓展2:
- 如果
为非周期函数,取它的有限区间
,对区间做一个周期性延伸,就可以应用傅里叶级数运算。
- 取有限区间
:
- 这个延伸可以是偶延伸,也可以是奇延伸
- 欧延伸:
- 奇延伸:
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