容斥原理应用

前言

容斥原理是组合数学中的一个重要原理，它在计数研究中占有重要地位。但容斥原理所研究的计数是若干有限集的交、并或差的计数。

由于我们讲的是应用，因此原理就不再仔细展开。我们在应用的时候要将某一类满足某种性质的元素看成集合，这个是应用容斥原理的最基本的技巧。

错位排列

定义：设集合S=(1，2，3，…，n}，则S的排列数为n!。若其中有两个排列12…n和 i1i2⋯in, 如果 i1≠1,i2≠2,⋯,in≠n 则称排列ji2…1为12…n的一个错位排列。即是说，一个错位排列就是使得原排列的每个元素都不在原来位置的排列。简称为DnD_nDn

由规律我们得到递推关系：Dn=(n−1)(Dn−1+Dn−2D_n =(n-1)(D_{n-1}+D_{n-2}Dn=(n−1)(Dn−1+Dn−2
由D1 = 0 ， D2 = 1,所以D0 = 1 ，那么通过化简我们有Dn=nDn−1+(1−)nD_n = nD_{n-1} +(1-)^nDn=nDn−1+(1−)n

定理：对于n>=1 ，有Dn=n!(1−11!+...+(−1)n1n!)D_n = n!(1-\frac{1}{1!} + ...+(-1)^n\frac{1}{n!})Dn=n!(1−1!1+...+(−1)nn!1)
证明：
证设S={1，2，…，n}，S0为S的所有n！个排列的集合。令Aj表示排列1,2…,n中使j位置上的元素保持不动的排列的集合，j=1，2，…，n。则排列1,2,…,n的所有错位排列必是在A1‾∩A2‾∩⋯∩An‾\overline{A1}∩ \overline{A2}∩⋯∩\overline{An}A1∩A2∩⋯∩An.中的那些排列，故有。Dn=A1‾∩A2‾∩⋯∩An‾D_n = \overline{A1}∩ \overline{A2}∩⋯∩\overline{An}Dn=A1∩A2∩⋯∩An。而且
Aj=(n−1)!,j=1,2,⋅⋅,nAj=(n−1)!,j=1,2,··,nAj=(n−1)!,j=1,2,⋅⋅,n。
∣Ai∩Ai∣=(n−2)!,i，j=1，2，…，n，但i≠j∣Ai∩Ai∣=(n−2)!,i，j=1，2，…，n，但i\neq j∣Ai∩Ai∣=(n−2)!,i，j=1，2，…，n，但i=j
对于任意整数k且1≤k≤n，则有
∣An∩A2∩⋯∣Ak∣=(n−k)!∣An∩A2∩⋯∣Ak∣=(n−k)!∣An∩A2∩⋯∣Ak∣=(n−k)!
图为(1，2，…,k)的k组合为C(n,k)C(n,k)C(n,k)个，应用容斥原理得到
Dn=n!(1−11!+...+(−1)n1n!)证毕D_n = n!(1-\frac{1}{1!} + ...+(-1)^n\frac{1}{n!})证毕Dn=n!(1−1!1+...+(−1)nn!1)证毕。

棋阵多项式

概念
n个棋子在n×n的棋盘上的一种布局，并规定：每行每列有且只有一个棋子，这样一种布局对应n个元素的某一排列。例如，下图是一个4×4的棋盘，4个棋子在棋盘上的一种布局，如图所示，其所对应的排列为2314。

可以把棋盘C推广到任意形状。
设为rk(C)为k个棋子按规定布置到棋盘C上的不同方案数设为r_k(C)为k个棋子按规定布置到棋盘C上的不同方案数设为rk(C)为k个棋子按规定布置到棋盘C上的不同方案数

禁位排列

定义：是指在一个排列中禁止某些元素占据某些位置。

证明：对于其证明我们是正难则方的思路先求落入禁区的，在求禁区的方案数需要用到容斥原理。
若有n个棋子布入n×n的棋盘。设AiA_iAi为i个棋子落入禁区的排列集合，i=1，2，…，n。

若一个棋子落入禁区的方案数为r1r1r1，剩下的n-1个棋子为无限制的排列，故至少有一个棋子落入禁区的排列数为r1∗(n−1)!r_1*(n-1)!r1∗(n−1)!。两个棋子落入禁区的方案数为r2r_2r2，而其余n-2个棋子为无限制的排列，故至少有两个棋子落入禁区的排列数为r2∗(n−2)!r_2*(n-2)!r2∗(n−2)!，依此类推。由容斥原理，n个棋子无一落入禁区的排列数为
Qn=A1‾∩A2‾∩⋯∩An‾=n!−r1⋅(n−1)!+r2⋅(n−2)!+⋯+(−1)∗rn∗0!Q_n=\overline{A1}∩ \overline{A2}∩⋯∩\overline{An} \\ =n!−r_1⋅(n−1)!+r_2⋅(n−2)!+⋯+(−1)^*r_n*0!Qn=A1∩A2∩⋯∩An=n!−r1⋅(n−1)!+r2⋅(n−2)!+⋯+(−1)∗rn∗0! 证毕。

而对于r1,r2,..,rnr_1,r_2,..,r_nr1,r2,..,rn的值我们有由禁区组成图形的棋阵多项式求出。

递归关系

定义：对于数列a1，a−2，a3，…，ana_1，a-2，a_3，…，a_na1，a−2，a3，…，an 把该数列中除了有限个数以外的任何数a，和它前面的一个或一些数关联起来的方程叫做递归关系。为了能够着手计算，必须知道数列中的一个或一些数，这样的数叫做边界条件

Hanoi塔问题

我们将n个盘从a柱移动到c柱上，需要移动的次数分析如下：

令h(n)为n个盘从a柱移到c柱所需移动的盘次。显然，当n=1时，只需移动一个盘次，故h(1)=1。当n=2时，先将上面的小盘移到b柱上；然后，将下面的大盘移到c柱上；最后再将b柱上的小盘移到c柱上，共计移动3个盘次，故h(2)=3。依此类推，总之，当有n个盘时，设法先将上面的n-1个盘移到b柱上，再将第n个盘从a柱移到c柱上，然后再把b柱上的n-1个盘设法移动到c柱上。于是我们得到以下递归关系
h(n)=2h(n一1)+1，h(1)=1，n=2，3，….h(n)=2h(n一1)+1，h(1)=1，n=2，3，….h(n)=2h(n一1)+1，h(1)=1，n=2，3，….

通过母函数求解后得到：
h(n)=2n−1h(n)=2^n-1h(n)=2n−1

平面分割问题

1.问题的提出
设有n条封闭曲线画在平面上，而任何两条封闭曲线恰好相交于两点，且任何三条封闭曲线不相交于同一点，问这些封闭曲线把平面分割成的区域个数。
2.问题的分析
令a点为n条封闭曲线把平面分割成的区域个数。显然，当n=1时， a1=2; 当n=2时， a2=4; 当n=3时，。a3=8,⋯。于是我们发现一个规律：若n-1条封闭曲线把平面分割成的区域个数为an-，，则第n条封闭曲线与这n-1条封闭曲线相交于2(n-1)个点，这2(n-1)个点把第n条封闭曲线截成2(n-1)段弧，这些弧把原来的2(n―1)个区域中的每个区域一分为2，故新增加的区域个数为2(n-1)，如图6.2所示，于是得到以下递归关系

an=an−1+2(n−1),a1=2,a0=2,n=2,3a_n=a_{n-1}+2(n-1),a_1=2,a_0=2,n=2,3an=an−1+2(n−1),a1=2,a0=2,n=2,3

通过母函数求解后得到：
an=n(n−1)+2a_n=n(n-1)+2an=n(n−1)+2

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