加法

公理：x-qxp-
规则：xqypz →\rightarrow→ x-qypz-
解释：q为equal，p为plus，公理表示(x+1)=x+1，规则表示如果x=y+z，则(x+1)=y+(z+1)

乘法

公理：xqxt-
规则：xqytz →\rightarrow→ xyqytz-
解释：q为equal，t为times

合数

公理：xqxt-
规则1：xqytz →\rightarrow→ xyqytz-
规则2：xqy-tz- →\rightarrow→ Cx
解释：公理和规则1同乘法，规则2表示，如果x由两个大于1的数字相乘，则x是合数

素数

素数的错误刻画是，如果Cx不是定理，则x是素数。这样的描述是不形式化的。用G.E.B.中的话来说，集合和补集犹如图案与衬底，形式化地描述了图案不代表也能形式化地描述衬底。

公理1：xyBZCx
公理2：P–
规则1：xBZCy →\rightarrow→ xBZCxy
规则2：–BZCz →\rightarrow→ zMY–
规则3：zMYx && x-BZCz →\rightarrow→ zMYx-
规则4：z-MYz →\rightarrow→ Pz-
解释：BZC表示不整除，公理1为xy不整除x（这是显然的，因为xy比x要大）。规则1表示如果x不整除y，则x也不整除(x+y)。xMYy表示x没有比y小（包括y）的因子（除了1），因此规则2为如果2不整除z，则z没有比小于等于2的因子。规则3表示，如果z没有小于等于x的因子，并且(x+1)也不整除z，则z没有小于等于(x+1)的因子。规则4表示，如果(z+1)没有小于等于z的因子，则z是一个素数。注意到上述规则没有将2纳入素数，因为–MY-不是一条定理。因此额外补充公理2，将2纳入素数。

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