DP 转移方程 —— 单调队列优化斜率优化李超树优化

前言

最近比赛遇到了一道李超树优化 DPDPDP 方程的题，比赛时推出了方程，但由于对斜率优化方程格式的不熟悉，误以为是斜率优化的问题，导致最终错失 ACACAC，因此想要将这三种格式的方程列举在一起，便于后续查阅。

单调队列优化

首先我们需要回忆单调队列的作用，O(n)O(n)O(n) 求出每一个大小为 KKK 的窗口中的最大、最小值，因此我们可以得到如下 DPDPDP 转移方程：
f[i]=max(v[j])+base[i],i−j≤Kf[i] = max(v[j])+base[i],i-j\leq K f[i]=max(v[j])+base[i],i−j≤K
其中 base[i]base[i]base[i] 是一个仅与 iii 有关的式子，不受 jjj 影响，且可以预处理得到；而 v[j]v[j]v[j] 则是一个仅与 jjj 以及 f[j]f[j]f[j] 有关的式子，不受 iii 影响。

因此我们可以维护一个 v[j]v[j]v[j] 的单调队列，每次从队列中选出最大值更新 f[i]f[i]f[i]，这个过程就是单调队列优化 DPDPDP。

斜率优化

在上述单调队列优化过程中，转移方程被拆成了两部分，第一部分仅与 jjj 有关，而另一部分仅与 iii 有关，因此我们可以利用单调队列仅维护与 jjj 有关的部分，实现问题的快速求解。

但仍然有很多转移方程，iii 和 jjj 是紧密相关的，这个时候单调队列优化就不适用了，例如如下转移方程格式：
y[j]=x[j]∗k[i]+f[i]+base[i]y[j]=x[j]*k[i]+f[i]+base[i] y[j]=x[j]∗k[i]+f[i]+base[i]
其中 x[j]x[j]x[j] 与 y[j]y[j]y[j] 是一个仅与 jjj 以及 f[j]f[j]f[j] 有关的式子，不受 iii 影响；而 k[i]k[i]k[i] 与 base[i]base[i]base[i] 则是一个仅与 iii 有关的式子，不受 jjj 影响。因此这个式子的唯一未知量就是 f[i]f[i]f[i]，如何选择合适的 jjj 来求取最优的 f[i]f[i]f[i] 就是该转移方程的关键问题。

仔细观察上述式子，不难发现其实这是一个 y=kx+by=kx+by=kx+b 的式子，kkk 由 iii 决定，而 xxx 和 yyy 则由 jjj 决定，因此我们可以将这个问题抽象为，平面上有很多个 (x[j],y[j])(x[j],y[j])(x[j],y[j]) 点，然后我们用斜率为 k[i]k[i]k[i] 的直线去靠近这些点，希望找一个使 bbb 最大的 jjj。

而这种情况下，我们就需要维护上 / 下凸壳，且需要根据具体的题意，如 k[i]k[i]k[i] 是否递增，k[i]k[i]k[i] 是否始终为正，k[i]k[i]k[i] 是否有可能为负等问题来选择具体的维护和转移方法，可能会涉及 setsetset 以及二分的使用。

总结一下，在斜率优化问题中，每一个 jjj 都是一个二维平面上的点 (x[j],y[j])(x[j],y[j])(x[j],y[j])，转移时我们需要用斜率为 k[i]k[i]k[i] 的直线来靠近这些点，使得 b[i]b[i]b[i] 达到最优。

李超树优化

李超树就是维护 nnn 条二维平面线段，并且求某一横坐标下的直线最大 / 小值，如果你对这个算法不熟悉的话，可以查看这篇博客。

李超树优化的转移方程格式如下：
f[i]+base[i]=k[j]∗i+b[j]f[i]+base[i]=k[j]*i+b[j] f[i]+base[i]=k[j]∗i+b[j]
其中 k[j]k[j]k[j] 和 b[j]b[j]b[j] 仅与 jjj 和 f[j]f[j]f[j] 有关；而 base[i]base[i]base[i] 仅与 iii 有关，且可以预处理得到；f[i]f[i]f[i] 则是需要求的值。

在这种格式的转移方程中每一个 jjj 都对应着二维平面中的一条直线 / 线段，因此我们只需要将每一个 jjj 的线段用李超树维护起来，对于每一个 iii，求一下所有线段的最值即可得到 f[i]f[i]f[i] 的最优值。

总结

说了这么多，总结一下上述三种转移方程的核心特点：

单调队列优化
- 转移方程可以被划分为两部分，一部分只与 iii 有关，另一部分只与 jjj 有关，因此可以对只与 jjj 有关的部分维护单调队列。
斜率优化
- 每一个 jjj 都可以看作平面上的一个点，直线的斜率由 iii 决定，因此需要选择合适的点，使得直线的截距最优。
李超树优化
- 每一个 jjj 都可以看作平面上的一条直线，f[i]=k[j]∗i+b[j]f[i]=k[j]*i+b[j]f[i]=k[j]∗i+b[j]，因此用李超树维护每一条直线，在 iii 处求最值即可。