特征向量的线性无关性

设 λ1,⋯,λmλ1,⋯,λm\lambda_1, \cdots, \lambda_m 是线性变换 fff 的 m" role="presentation" style="position: relative;">mmm 个不同的特征值，
ξi1,⋯,ξiniξi1,⋯,ξini\xi_{i1}, \cdots, \xi_{in_i} 是属于 λiλi \lambda_i 的 ninin_i 个线性无关的特征向量，
则所有这些这些向量组成的向量组：
ξ11,⋯,ξ1n1,⋯,ξm1,⋯,ξmnmξ11,⋯,ξ1n1,⋯,ξm1,⋯,ξmnm\xi_{11}, \cdots, \xi_{1n_1}, \cdots, \xi_{m1}, \cdots, \xi_{mn_m}也线性无关。

证明

命题就是：
∑i=1m∑j=1nikijξij=0⃗ ⇒kij=0,i,j∈N,1≤i≤m,1≤j≤ni,∑i=1m∑j=1nikijξij=0→⇒kij=0,i,j∈N,1≤i≤m,1≤j≤ni,\sum \limits_{i = 1} ^{m} \sum \limits_{j = 1} ^{n_i}k_{ij} \xi_{ij} = \vec {0} \Rightarrow k_{ij} = 0, i, j \in \mathbb N, 1 \le i \le m, 1 \le j \le n_i,

m=1m=1m = 1 时命题显然成立。
假设 mmm 时命题成立。则 m+1" role="presentation" style="position: relative;">m+1m+1m + 1 时：
设 ∑i=1m+1∑j=1nikijξij=0⃗ ∑i=1m+1∑j=1nikijξij=0→\sum \limits_{i = 1} ^{m + 1} \sum \limits_{j = 1} ^{n_i}k_{ij} \xi_{ij} = \vec {0}
则 f(∑i=1m+1∑j=1nikijξij)=f(0⃗ )=0⃗ f(∑i=1m+1∑j=1nikijξij)=f(0→)=0→f (\sum \limits_{i = 1} ^{m + 1} \sum \limits_{j = 1} ^{n_i}k_{ij} \xi_{ij} )= f(\vec {0}) = \vec {0}
⇒∑i=1m+1∑j=1nikijf(ξij)=0⃗ ⇒∑i=1m+1∑j=1nikijf(ξij)=0→\Rightarrow \sum \limits_{i = 1} ^{m + 1} \sum \limits_{j = 1} ^{n_i}k_{ij} f( \xi_{ij} ) = \vec {0}
⇒∑i=1m+1∑j=1nikijλiξij=0⃗ ⇒∑i=1m+1∑j=1nikijλiξij=0→\Rightarrow \sum \limits_{i = 1} ^{m + 1} \sum \limits_{j = 1} ^{n_i}k_{ij} \lambda_i \xi_{ij} = \vec {0}
⇒∑i=1m+1λi∑j=1nikijξij=0⃗ ⇒∑i=1m+1λi∑j=1nikijξij=0→\Rightarrow \sum \limits_{i = 1} ^{m + 1} \lambda_i \sum \limits_{j = 1} ^{n_i}k_{ij} \xi_{ij} = \vec {0}
又 λm+1∑i=1m+1∑j=1nikijξij=0⃗ λm+1∑i=1m+1∑j=1nikijξij=0→ \lambda_{m + 1} \sum \limits_{i = 1} ^{m + 1} \sum \limits_{j = 1} ^{n_i}k_{ij} \xi_{ij} = \vec {0}
⇒∑i=1m+1λm+1∑j=1nikijξij=0⃗ ⇒∑i=1m+1λm+1∑j=1nikijξij=0→\Rightarrow \sum \limits_{i = 1} ^{m + 1} \lambda_{m + 1} \sum \limits_{j = 1} ^{n_i}k_{ij} \xi_{ij} = \vec {0}
因此 ∑i=1m+1(λi−λm+1)∑j=1nikijξij=0⃗ ∑i=1m+1(λi−λm+1)∑j=1nikijξij=0→ \sum \limits_{i = 1} ^{m + 1} (\lambda_i - \lambda_{m + 1}) \sum \limits_{j = 1} ^{n_i}k_{ij} \xi_{ij} = \vec {0}
⇒∑i=1m(λi−λm+1)∑j=1nikijξij=0⃗ ⇒∑i=1m(λi−λm+1)∑j=1nikijξij=0→ \Rightarrow \sum \limits_{i = 1} ^{m} (\lambda_i - \lambda_{m + 1}) \sum \limits_{j = 1} ^{n_i}k_{ij} \xi_{ij} = \vec {0}
⇒∑i=1m∑j=1ni(λi−λm+1)kijξij=0⃗ ⇒∑i=1m∑j=1ni(λi−λm+1)kijξij=0→ \Rightarrow \sum \limits_{i = 1} ^{m}\sum \limits_{j = 1} ^{n_i} (\lambda_i - \lambda_{m + 1}) k_{ij} \xi_{ij} = \vec {0}
由归纳假设，(λi−λm+1)kij=0,i,j∈N,1≤i≤m,1≤j≤ni,(λi−λm+1)kij=0,i,j∈N,1≤i≤m,1≤j≤ni, (\lambda_i - \lambda_{m + 1}) k_{ij} = 0, i, j \in \mathbb N, 1 \le i \le m, 1 \le j \le n_i,
由于 λi≠λm+1,i,∈N,1≤i≤m,λi≠λm+1,i,∈N,1≤i≤m,\lambda_i \neq \lambda_{m + 1}, i, \in \mathbb N, 1 \le i \le m, 因此
kij=0,i,j∈N,1≤i≤m,1≤j≤ni,kij=0,i,j∈N,1≤i≤m,1≤j≤ni, k_{ij} = 0, i, j \in \mathbb N, 1 \le i \le m, 1 \le j \le n_i,
于是 ∑j=1nm+1k(m+1)jξ(m+1)j=0⃗ ∑j=1nm+1k(m+1)jξ(m+1)j=0→\sum \limits_{j = 1} ^{n_{m + 1}}k_{{(m + 1)}j} \xi_{{(m + 1)}j} = \vec {0}
⇒k(m+1)j=0,j∈N,1≤j≤nm+1,⇒k(m+1)j=0,j∈N,1≤j≤nm+1, \Rightarrow k_{{(m + 1)}j} = 0, j \in \mathbb N, 1 \le j \le n_{m + 1},
因此 kij=0,i,j∈N,1≤i≤m,1≤j≤ni,kij=0,i,j∈N,1≤i≤m,1≤j≤ni, k_{ij} = 0, i, j \in \mathbb N, 1 \le i \le m, 1 \le j \le n_i,

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