矩阵分析(三)：矩阵的列空间、行空间与零空间

【定义1：列空间】
若A=[a1,a2,⋯,an]∈Cm×n{\bf A}=[{\bf a}_1,{\bf a}_2,\cdots,{\bf a}_n]\in \mathbf{C}^{m \times n}A=[a1,a2,⋯,an]∈Cm×n为复矩阵，则其列向量的所有线性组合的几何构成一个子空间，称为矩阵A{\bf A}A的列空间(column space)或列张成(column span)，用符号Col(A{\bf A}A)表示，即有
Col(A)=Span{a1,a2,⋯,an}={y∈Cm∣y=∑j=1nαjaj,αj∈C}\begin{matrix}{\rm Col}({\bf A})={\rm Span}\{{\bf a}_1,{\bf a}_2,\cdots,{\bf a}_n\}\\ =\{{\bf y}\in \mathbf{C}^m|{\bf y}=\sum_{j=1}^{n}\alpha_j{\bf a}_j,\alpha_j\in\mathbf{C}\}\end{matrix} Col(A)=Span{a1,a2,⋯,an}={y∈Cm∣y=∑j=1nαjaj,αj∈C}
【定义2：行空间】
类似地，矩阵A{\bf A}A的复共轭行向量r1∗,r2∗,⋯,rm∗∈Cn{\bf r}^*_1,{\bf r}^*_2,\cdots,{\bf r}^*_m\in \mathbf{C}^{n}r1∗,r2∗,⋯,rm∗∈Cn的所有线性组合的几何称为矩阵A{\bf A}A的行空间(row space)或行张成(row span)，用符号Row(A{\bf A}A)表示，即有
Row(A)=Span{r1∗,r2∗,⋯,rm∗}={y∈Cn∣y=∑i=1mβiri∗,βi∈C}\begin{matrix}{\rm Row}({\bf A})&=&{\rm Span}\{{\bf r}^*_1,{\bf r}^*_2,\cdots,{\bf r}^*_m\}\\ &=&\{{\bf y}\in \mathbf{C}^n|{\bf y}=\sum_{i=1}^{m}\beta_i{\bf r}^*_i,\beta_i\in\mathbf{C}\}\end{matrix} Row(A)==Span{r1∗,r2∗,⋯,rm∗}{y∈Cn∣y=∑i=1mβiri∗,βi∈C}
【注：】
1）显然有Row(A)=Col(AH){\rm Row}({\bf A})={\rm Col}({\bf A}^{\rm H})Row(A)=Col(AH)。
2）行空间和列空间是直接针对矩阵Am×n{\bf A}_{m \times n}Am×n本身定义的向量子空间。另外还有两个向量子空间不是直接用矩阵A{\bf A}A定义，而是通过矩阵变换Ax{\bf Ax}Ax定义的。这两个子空间是影身或变换的值域和零空间。
【定义3：值域】
若A∈Cm×n{\bf A}\in \mathbf{C}^{m\times n}A∈Cm×n，则A{\bf A}A的值域定义为
Range(A)={y∈Cm∣Ax=y,x∈Cn}{\rm Range}({\bf A})=\{{\bf y}\in \mathbf{C}^m|{\bf Ax}={\bf y},\ {\bf x}\in \mathbf{C}^n\} Range(A)={y∈Cm∣Ax=y, x∈Cn}
【定义4：零空间或核(Kernel)】
矩阵A{\bf A}A的零空间(null space)也称A{\bf A}A的核(Kernel)，定义为满足齐次线性方程Ax=0{\bf Ax}={\bf 0}Ax=0的所有解向量的集合，即
Null(A)=Kel(A)={x∈Cn∣Ax=0}{\rm Null}({\bf A})={\rm Kel}({\bf A})=\{{\bf x}\in \mathbf{C}^n|{\bf Ax}={\bf 0}\} Null(A)=Kel(A)={x∈Cn∣Ax=0}
类似地，AH{\bf A}^{\rm H}AH的零空间定义为
Null(AH)=Kel(AH)={x∈Cm∣AHx=0}{\rm Null}({\bf A}^{\rm H})={\rm Kel}({\bf A}^{\rm H})=\{{\bf x}\in \mathbf{C}^m|{\bf A^{\rm H}x}={\bf 0}\} Null(AH)=Kel(AH)={x∈Cm∣AHx=0}
【性质】
（1）矩阵的值域就是矩阵的列空间；
Range(A)=Col(A){\rm Range}({\bf A})={\rm Col}({\bf A})Range(A)=Col(A)
（2）矩阵转置的值域就是矩阵的行空间；
Range(AH)=Row(A){\rm Range}({\bf A}^{\rm H})={\rm Row}({\bf A})Range(AH)=Row(A)
（3）矩阵行空间的正交补是矩阵的零空间；
(Row(A))⊥=Null(A)({\rm Row}({\bf A}))^{\bot}={\rm Null}({\bf A})(Row(A))⊥=Null(A)
（4）矩阵列空间的正交补是矩阵转置的零空间。
(Col(A))⊥=Null(AH)({\rm Col}({\bf A}))^{\bot}={\rm Null}({\bf A}^{\rm H})(Col(A))⊥=Null(AH)

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