裴礼文《数学分析中的典型问题与方法》P31~60

裴礼文《数学分析中的典型问题与方法》

第2天31~60

第1章一元函数极限

3.求极限值的若干方法

利用等价代换和初等变形求极限。
1. 等价代换。
  1. 先求出可以求出来的值。
  2. 根号内最好转变为一个常数和一个分式的和。
  3. 等价无穷小代换。
  4. 注意只有在x出现的时候才可以用，如果是常数不能用等价无穷小代换，比如说1.3.1的第4问。efx-eb不能等价代换成efx-1-eb+1因为必是常数，所以不能够这样等价无穷小代换。应该以整体的思想，然后进行等价无穷小代换。
  5. 等价代换原理，源于分数的约分，单项不可做等价代换。
2. 利用初等变形求极限。
  1. 把xn化简之后的形式写出来，你先写你不写一定观察不出来，写出来才观察的出来。
  2. i三次方求和等于i求和的平方。
利用已知极限。
1. 利用两个重要极限。
2. 例1.3.3(1)难(2)同1的方法。
3. 1.3.4, 第2问用了第1问的结论。用了约分法的逆运算
4. 利用欧拉常数计算极限。欧拉常数的极限但是的左端是1/n求和。所以遇到n/1求和的时候，可以用欧拉常数的极限结果进行计算。当然是能消掉欧拉常数的时候是最好的。
5. stIrlIng公式。拆开求积项
利用变量替换求极限。
1. 把每一个已知的变量求极限，用积分的形式求出来，然后代入需要求的体现式子中，通过有界，组合，变为0消去。
两边夹法则。
1. 1.3.9想不到。
2. 1.3.10难想不到
两边夹法则的推广形式。可能会考，只保留最重要的n次就可以了。Important
求极限其他常用方法。
1. 洛必达法则。
  1. 无穷比无穷的分子可以是任意的。
  2. 洛比达法则使用过程中也会用到等价关系。
  3. 但有的时候不能够直接带话，比如说例1.3.12第2问。
2. 利用泰勒公式求极限。
  1. 分子分母展开到同一次方项Important
  2. 常见泰勒公式的记忆法。『来自知乎』记住一个，拆成两个，去首项，去阶乘，正负交错，二项公式拿来用。记住一个e^x可以拆成sin和cos，cos为e^x的奇数项，其中正负交错，sin为偶数项，也是正负交错。ln等于e^x去首项，去阶乘，正负交错，(1+x)＾m用二项公式。
  3. 当然还有一个泰勒公式1/(1-x)=∑x＾i
  4. 关于泰勒公式中二项式展开中分数组合函数的计算。C_{1/2}^2=[1/2×（1/2-1）]/2！=-1/8等同于公式C_n^m=n·(n-1)……(n-m+1)/m!
3. 利用积分定义求极限。利用积分的定义。同时可以用两边夹法则。
4. 利用级数求解极限问题。利用极限通向趋于0。
5. 利用收敛级数余项趋于0。级数收敛的必要条件就是通项趋于0，余项也趋于0。
6. 利用级数∑|xn-xn-1|的收敛性。
7. 利用连续性求极限。例1.3.19具有特殊性。
8. 综合性例题
  1. 例1.3.20
    1. 方法一：设各种元素，然后带入。
    2. 方法二：两边夹法则。
  2. 例1.3.21
    1. 利用e^x的求导特性。积分求得fx的表达式，然后洛必达法则。
  3. 例1.3.22
    1. 同样利用e^-x的求导特性，通过积分求得fx的表达式。
  4. 例1.3.23
    1. 把极限写成导数定义中的形式。思想很重要
  5. 例1.3.24
    1. 高阶无穷大量
9. 练习1.3
  1. 1.3.1把加减变成乘积进行约分
1. 1.3.2vieta公式的证明
2. 1.3.3洛比达法则。
3. 1.3.4换元，洛比达法则。
4. 1.3.5换底公式，洛必达法则。
5. 1.3.6两边夹法则。
6. 1.3.7两边夹法则。
7. 1.3.8等价无穷小代换。a^x-1～xlna，(1+x)^a-1～ax
8. 1.3.9(1)凑(2)利用第1问的结论。
9. 1.3.10两边夹法则。大于单个最大值，小于整个最大值。
10. 1.3.11洛比达法则。分情况讨论sinx
11. 1.3.12洛比达法则，变限积分求导(原函数存在定理)。
12. 1.3.13把乘除改为加减，用洛必达法则。
13. 1.3.14基础。
14. 1.3.15提出x的6次方，然后泰勒展开。
15. 1.3.16方法很多提出n的k次方，用等价无穷小代换。
16. 1.3.17用1的无穷次方。然后将tanx用分数的形式替换。运用洛必达法则。注意有的是常数，可以提出来。
17. 1.3.18洛必达法则。
18. 1.3.19提出x的1/4次方，然后用泰勒展开(二项展开式)
19. 1.3.20微分中值公式，注意函数是sinx。所以自变量是根号x。
20. 1.3.21微分中值公式。
21. 1.3.22洛必达法则直接得出结论。
22. 1.3.23难。
23. 1.3.24难一的无穷次方。

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