原理概述

snake模型将图像分割问题转换为求解能量泛函最小值的问题。主要思路是构造能量函数进行迭代后，轮廓曲线由初始位置逐渐向使能量函数最小（局部极小）的图像边缘逼近，最终分割出目标。

曲线理论

假设一条光滑封闭曲线 C=C(p)C(p)C(p)，则在点p处有切向量T(p)T(p)T(p)和法向量N(p)N(p)N(p)相互垂直：

且有dCdp=T(p)\frac{dC}{dp}=T(p)dpdC=T(p), d2Cdp2=kN(p)\frac{d^2C}{dp^2}=kN(p)dp2d2C=kN(p), 其中k是曲率。曲线在p处有近似的二阶展开：
C(p)=C(p0)+k1dCdp0+k2d2Cdp02C(p)=C(p_0)+k_1\frac{dC}{dp_0}+k_2\frac{d^2C}{dp_0^2}C(p)=C(p0)+k1dp0dC+k2dp02d2C
即:
C(p)=C(p0)+αT(p0)+βN(P0)C(p)=C(p_0)+\alpha T(p_0)+\beta N(P_0)C(p)=C(p0)+αT(p0)+βN(P0)
其中法向量决定了曲线的弯曲方向，

算法原理

首先需要人为在图像上给出一组用于控制曲线形状的控制点：v(s)=[x,y]v(s)=[x,y]v(s)=[x,y]，这些首尾相连的点构成一个封闭的轮廓线。v是当前最小能量的位置，在迭代过程中，v会移向下一次能量最小的v’位置。

Snake曲线的能量函数表示为：
Esnake=Eint+EextE _{snake}=E _{int}+E _{ext}Esnake=Eint+Eext

EintE _{int}Eint是内部能量函数，依赖于轮廓形状：

Eint=∫12×(α(s)∣c′(s)∣2+β(s)∣c′′(s)∣2)dsE _{int}=∫{\frac{1}{2} \times (α(s)∣c'(s)∣^2+β(s)∣c''(s)∣^2)ds}Eint=∫21×(α(s)∣c′(s)∣2+β(s)∣c′′(s)∣2)ds
由之前的曲线理论我们知道，式中两项的作用
法向量：推动轮廓形状的改变，决定轮廓平滑度
切向量：保持轮廓点的间离

EextE _{ext}Eext是外部能量函数，依赖于图像的性质：

Eext=−(Emag+Eext)E _{ext}=-(E _{mag}+E _{ext})Eext=−(Emag+Eext)
EimageE _{image}Eimage:灰度能量，决定将轮廓吸引到暗/亮的区域
EmagE _{mag}Emag:梯度能量，将图像推向边缘特征

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主动轮廓模型snake

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