有限元工程应用方法-ANSYS单元刚度矩阵计算理论详解

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导读：对于结构有限元计算，有一个关键的步骤就是计算单元刚度矩阵，对于单元刚度矩阵目前的有限元都是采用数值积分方法进行计算。目前ANSYS Wb支持完全积分，缩减积分，增强应变和简化增强应变4种方法。

1、完全积分

低阶单元和高阶单元都支持完全积分计算，例如PLANE182,SOLID185和SOLID186。

图1 SOLID185单元控制面板

图2 SOLID186单元控制面板

图3 SOLID185和SOLID186完全积分点示意图

图4 SOLID187的积分点示意图

如图3给出了SOLID185和SOLID186完全积分点示意图，图4给出了SOLID187积分点的示意图。完全积分属于精确计算，完全积分 (又名B-bar 方法, 选择缩减性积分) 用低一阶的积分方法对体积项积分，应力状态可分解为静水压力 (p) 和偏差应力 (s)两项。

（3-1）

上面的方程中, 是体积应变，是偏差应变. 是体积模量, 是剪切模量。应变通过下式和位移相关

（3-2）

而计算 [B] 时, 对体积项和偏差项使用不同的积分阶数。[Bv] 以一个积分点计算 (缩减积分)；另一方面, [Bd] 以 2x2 积分点计算 (完全积分)。[B] 的体积项和偏差项不是以同一积分阶数计算，只有体积项用缩减积分，这就是该方法称为选择缩减积分的原因。因为[B]在体积项上平均，因此也称为 B-bar 法。

2、缩减积分

如图5和6给出了SOLID185和SOLID186缩减积分的设置方法，SOLID185缩减积分，采用单点积分；SOLID186缩减积分采用8点积分。

图5 SOLID185单元控制面板

图6 SOLID185单元控制面板

一致缩减积分 (URI) 采用比数值精确积分所需要的阶数低一阶的积分公式，这和完全积分类似，但体积和偏差项都用缩减积分。不幸地是，偏差项的缩减积分引起零应变能的变形模式，称为零能量或沙漏模式。这是不可控制的变形模式，会导致不符合实际的行为，如图5所示。

图5 沙漏

沙漏模式通常只是低阶URI单元中的问题。只要在每一个方向上有多于一个的单元, 高阶URI 单元的零能量模式就不会传播。为了控制低阶单元中的沙漏模式，添加一个沙漏刚度。这提供了一个抵抗零能量模式的刚度。除了沙漏刚度，用户还有其它方法防止沙漏:-不要施加点载荷或单点约束，因为这些能激发沙漏模式；-细化网格通常有利于防止沙漏模式传播；-改为其它单元公式防止沙漏。

3、增强应变

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有限元工程应用方法-ANSYS单元刚度矩阵计算理论详解

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