1 基本介绍

2 建立步骤

2.1 建立递阶式层次结构模型

2.2 构造比较判断矩阵

2.3 层次单排序及一致性检验

2.4 层次总排序及其一致性检验

2.5 数据加权

3 案例：某学科创新能力评价指标体系

3.1 构建评价指标体系

3.2 构造判断矩阵及一致性检验

3.3 计算综合评价得分

1 基本介绍

层次分析法（analytic hierarchy process，简称AHP）是解决多因素综合评价问题的常用方法，该方法是美国运筹学家，匹茨堡大学教授T.L. Saaty于20世纪70年代初，在为美国国防部研究"根据各个工业部门对国家福利的贡献大小而进行电力分配"课题时，应用网络系统理论和多目标综合评价方法，提出的一种层次权重决策分析方法。

该方法的特点是：

（1）把整个综合评价问题看作一个系统，用系统工程的方法进行决策和判断；

（2）合理解和定性与定量决策，把决策过程层次化、数量化；

（3）把决策者个人偏好引入比较评判过程，符合实际决策过程中的个人习惯思维和心理变化规律；

（4）引入指标重要性比较尺度，通过建立比较矩阵和权重向量解决决策方案的排序问题。

2 建立步骤

2.1 建立递阶式层次结构模型

可分为：目标层、准则层、方案层

2.2 构造比较判断矩阵

为每一层每一级的评价体系构造比较判断矩阵。采用1~9及其倒数的标度方法定义，当两两比较完成后，得到比较判断矩阵 $A=(a_i_j)_{n\sqcap n}$ ，其中 $a_i_j=\frac{1}{a_j_i},a_i_i=1$ ,因此判断矩阵又称为正互反矩阵。

表1 1-9标度值及其含义
标度 $a_i_j$	含义
1	$C_i$ 与 $C_j$ 一样重要
3	$C_i$ 比 $C_j$ 重要性稍强
5	$C_i$ 比 $C_j$ 重要性强
7	$C_i$ 比 $C_j$ 重要性明显强
9	$C_i$ 比 $C_j$ 重要性绝对强
2,4,6,8	$C_i$ 比 $C_j$ 重要性介于相邻数之间
$\frac{1}{2},...,\frac{1}{9}$	$C_i$ 比 $C_j$ 重要性之比为上面 $a_i_j$ 的相反数，其含义与之相反

2.3 层次单排序及一致性检验

（1）确定相对权重向量

为了对指标排序，需要确定每个指标的相对权重向量。确定相对权重向量的常见方法有和法、根法、特征根法等。

①和法：将比较判断矩阵 $A$ 按列归一化，得到归一化的标准矩阵，然后将标准化矩阵按行求算术平均值即得到权重向量，计算公式如下：

$\omega _{i}=\frac{1}{n}\sum_{j=1}^{n}\frac{a_i_j}{\sum_{k=1}^{n}a_k_i},i=1,2,...,n$

eg：设判断矩阵为 $A$ ，经列归一化后得到矩阵 $A_{std}$ ，求 $A_{std}$ 的行算术平均值得到权重向量 $\omega$

$A=\begin{bmatrix} 1 & 1/2 & 1/2\\ 2& 1 & 1/2\\2 & 2 & 1 \end{bmatrix}\rightarrow A_{std}=\begin{bmatrix} 0.2000 & 0.1429 & 0.2500\\ 0.4000& 0.2857 & 0.2500\\0.4000 & 0.5714 & 0.5000 \end{bmatrix}\rightarrow\omega=\begin{bmatrix}0.1976 \\ 0.3119 \\ 0.4905 \end{bmatrix}$

②根法：将比较判断矩阵 $A$ 按列归一化，得到归一化的标准矩阵，然后将标准化矩阵按行求几何平均后归一化即得到权重向量，计算公式如下：

$\omega _{i}=\frac{\prod_{j=1}^{n}a_{ij}^{1/n}}{\sum_{n}^{k=1}(\prod_{j=1}^{n}a_{kj})^{1/n}}$

eg：设判断矩阵为 $A$ ，经列归一化后得到矩阵 $A_{std}$ ，求 $A_{std}$ 的行几何平均值得到初步权重向量 $\omega_{f}$ ,再归一化后得到最终权重向量 $\omega$

$A=\begin{bmatrix} 1 & 1/2 & 1/2\\ 2& 1 & 1/2\\2 & 2 & 1 \end{bmatrix}\rightarrow A_{std}=\begin{bmatrix} 0.2000 & 0.1429 & 0.2500\\ 0.4000& 0.2857 & 0.2500\\0.4000 & 0.5714 & 0.5000 \end{bmatrix}$

$\rightarrow\omega_{f}=\begin{bmatrix}0.1926 \\ 0.3057 \\ 0.4853 \end{bmatrix}\rightarrow\omega=\begin{bmatrix}0.1958 \\ 0.3108 \\ 0.4934\end{bmatrix}$

（2）计算特征根和特征向量

排序问题最终归结为计算判断矩阵的特征根和特征向量问题，可运用相关软件计算得到任意精度的最大特征根及其对应的特征向量。假设判断矩阵 $A=(a_{ij})_{n\times n},i,j=1,2,...,n$ ，通过归一化处理等系列变化过程，可以得到特征向量 $\omega =(\omega_{1},\omega_{2},...,\omega_{n})^{T}$ 及其最大特征根（可用计算机实现）

$\lambda _{max}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\frac{(A\omega)_{i}}{\omega_{i}}$

（3）一致性检验

由于系统的复杂性、认识的多样性以及主观片面性和不稳定性，要达到完全一致性判断是非常困难的。为了确保层次排序的有效性，必须对给出的判断矩阵进行一致性检验。

其中，一致性检验通常使用一致性比率 $CR$ 作为检验标准，当 $CR<0.1$ 时，认为判断矩阵的一致性是可以接受的；当 $CR\geqslant 0.1$ 时，应考虑对判断矩阵进行调整，再重新计算权重向量并进行一致性检验，直至检验通过。这里有：

$CR=\frac{CI}{RI}$

其中， $CI$ 为一致性指标， $CI=\frac{\lambda _{max}-n}{n-1}$ ， $CI$ 越大，说明不一致越严重；

$RI$ 为平均随机一致性指标，与判断矩阵的阶数n有关，可查表得到。它是利用计算机模拟得到大量的比较判断矩阵，计算相应的 $CI$ ，并把多次模拟结果取平均得到的。

表2 平均随机一致性指标
矩阵阶数n	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	...
RI	0	0	0.58	0.90	1.12	1.24	1.32	1.41	1.45	1.49	1.51	...

2.4 层次总排序及其一致性检验

上面只计算了每一小层的排序和一致性检验。将各层次的权重逐一相乘得到最终方案层各指标对目标层的最终权重后，还要对大层和全部指标总体进行排序和一致性检验。

总体一致性检验的 $CR$ 值为：

$CR^{(k)}=CR^{(k-1)}+\frac{CI^{(k)}}{RI^{(k)}},k\geq 3$

其中， $CR^{k}$ 为第 $k$ 层对总目标层的一致性指标， $RI^{k}$ 为第 $k$ 层的平均随机一致性指标。

当 $CR^{k}<0.1$ 时，认为第 $k$ 层的判断矩阵通过一致性检验。

2.5 数据加权

将权重矩阵与处理完的规范化数据加权，即可得到最终的综合评分。

需要注意的是，多属性决策或综合评价的主要困难时属性间的不可公度性，在实际评价时需要消除量纲和计量单位不同对评价结果的影响。在对指标进行无量纲化处理时，要注意区分效益型指标、成本型指标、固定型指标和区间型指标，具体处理方法可看本栏目的第一节：

[评价体系] 1、数据规范化/无量纲化方法_禾木页-CSDN博客

3 案例：某学科创新能力评价指标体系

层次分析法在综合评价中一个重要作用是用于确定评价体系的指标权重。

案例来自于：谭春辉.高校哲学社会科学创新能力评价模型与机制[M].北京:科学出版社,2016.5:85-89，引用时有所删改。

3.1 构建评价指标体系

设某高校某学科的创新能力评价指标体系由3个准则层、9个分准则层、18个方案层指标构成，详情如下。

表2 某学科创新能力综合评价体系
目标层	准则层（一级指标）	分层指标（二级指标）	方案层（三级指标）
某学科创新能力	创新投入 U1	科研队伍 U11	...U111
			...U112
		科研经费 U12	...U121
			...U122
		科研设施 U13	...U131
			...U132
	创新运行 U2	社会支持 U21	...U211
			...U212
		管理机制 U22	...U221
			...U222
		组织文化 U23	...U231
			...U232
	创新产出 U3	科研产出 U31	...U311
			...U312
		学科建设 U32	...U321
			...U322
		社会贡献 U33	...U331
			...U332

3.2 构造判断矩阵及一致性检验

（1）目标层下的判断矩阵及一致性检验

表3 目标层下判断矩阵
项目	创新投入 U1	创新运行 U2	创新产出 U3	相对权重向量wi （根法）
创新投入 U1	1	1/2	1/2	0.1958
创新运行 U2	2	1	1/2	0.3108
创新产出 U3	2	2	1	0.4934

计算该判断矩阵的特征根和特征向量分别为：

$\lambda_{max} =3,0536$

$W_{0}=[0.5053,0.8021,0.3183]^{T}$

一致性指标： $CI=\frac{\lambda _{max}-n}{n-1}=\frac{3.0536-3}{3-1}=0.0268$

查表得：当n=3时，对应的平均一致性指标 $RI=0.58$

所以一致性比率 $CR=\frac{CI}{RI}=\frac{0.0268}{0.58}=0.0462<0.1$ ，认为判断矩阵的一致性是可以接受的。

（2）求准则层和分准则层下的判断矩阵及一致性检验

按照上述方法，分别对各层级建立判断矩阵分别进行一致性检验，还需检验12次。

创新投入U1、科研队伍U11、科研经费U12、科研设施U13（4个）

创新运行U2、社会支持U21、管理机制U22、组织文化U23（4个）

创新产出U3、科研产出U21、学科建设U32、社会贡献U33（4个）

（3）经一致性检验后的判断矩阵，可以得到各层指标的最终权重

表4 某学科创新能力综合评价体系
目标层	准则层（一级指标）	分层指标（二级指标）	方案层（三级指标）（略）
某学科创新能力	创新投入 U1/ 0.1958	科研队伍 U11/ 0.6917	...U111/ 0.6319
			...U112/ 0.3681
		科研经费 U12/ 0.2364	...U121/ 0.3456
			...U122/ 0.6544
		科研设施 U13/ 0.0819	...U131/ 0.2364
			...U132/ 0.7636
	创新运行 U2/ 0.3108	社会支持 U21/ 0.0974	...U211/ ...
			...U212/ ...
		管理机制 U22/ 0.5695	...U221/ ...
			...U222/ ...
		组织文化 U23/ 0.3331	...U231/ ...
			...U232/ ...
	创新产出 U3/ 0.4934	科研产出 U31/ 0.7838	...U311/ ...
			...U312/ ...
		学科建设 U32/ 0.1349	...U321/ ...
			...U322/ ...
		社会贡献 U33/ 0.0813	...U331/ ...
			...U332/ ...

3.3 计算综合评价得分

获取方案层各指标数据，对其进行规范化处理后，按照权重逐级相乘，可得到最终某学科创新能力的综合得分，以及在各分层（如U1、U2、U3；U11、U12...）的细项得分。

指标规范化方法：[评价体系] 1、数据规范化/无量纲化方法_禾木页-CSDN博客

参考：

[1] 刘保东、宿洁、陈建良.数学建模基础教程[M].北京:高等教育出版社,2015.9:404-407

[2] 谭春辉.高校哲学社会科学创新能力评价模型与机制[M].北京:科学出版社,2016.5:85-89

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