[2018.07.12 T2] B君的第二题

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B君的第二题

【问题描述】

申生在内而亡，重耳在外而安

考虑k+1k+1k + 1个数组a[i](0≤i≤k)a[i](0≤i≤k)a[i] (0 ≤ i ≤ k)。

为了方便起见，每个数组a[i]a[i]a[i]长度为nnn，下标从1" role="presentation" style="position: relative;">111开始。（直观来说就是第一维下标从000开始，第二维下标从1开始。）

其中a[i]" role="presentation" style="position: relative;">a[i]a[i]a[i]时时刻刻是a[i−1](1≤i≤k)a[i−1](1≤i≤k)a[i-1] (1 ≤ i ≤ k)的前缀和。

前缀和就是a[i][1]=a[i−1][1]a[i][1]=a[i−1][1]a[i][1] = a[i-1][1]且a[i][j]=a[i][j−1]+a[i−1][j](j≥2)a[i][j]=a[i][j−1]+a[i−1][j](j≥2)a[i][j] = a[i][j-1]+a[i-1][j] (j ≥ 2)。

比如a[0]=1,0,0,0a[0]=1,0,0,0a[0] = {1, 0, 0, 0}，那么a[1]=1,1,1,1,a[2]=1,2,3,4,a[3]=1,3,6,10a[1]=1,1,1,1,a[2]=1,2,3,4,a[3]=1,3,6,10a[1] = {1, 1, 1, 1}, a[2] = {1, 2, 3, 4}, a[3]= {1, 3, 6, 10} 此时如果我们修改a[0][3]+=1a[0][3]+=1a[0][3] += 1，得到新的a[i]a[i]a[i]。

a[0]=1,0,1,0,a[1]=1,1,2,2,a[2]=1,2,4,6,a[3]=1,3,7,13a[0]=1,0,1,0,a[1]=1,1,2,2,a[2]=1,2,4,6,a[3]=1,3,7,13a[0] = {1, 0, 1, 0}, a[1] = {1, 1, 2, 2}, a[2] = {1, 2, 4, 6}, a[3] = {1, 3, 7, 13}。

你需要支持222个操作。

修改操作：输入x,y" role="presentation" style="position: relative;">x,yx,yx, y，执行a[0][x]+=ya[0][x]+=ya[0][x] += y。

询问操作：输入xxx，返回a[k][x]" role="presentation" style="position: relative;">a[k][x]a[k][x]a[k][x]的值。

由于结果可能很大，你只需要输出询问的值对100000000710000000071000000007取模的结果。

【输入格式】

第一行三个整数n,m,kn,m,kn, m, k，分别表示数组长度，操作次数，前缀和次数。

接下来mmm行，每行一个操作。

如果第一个数字是0" role="presentation" style="position: relative;">000，接下来会有222个数字x,y" role="presentation" style="position: relative;">x,yx,yx, y表示修改，a[0][x]+=ya[0][x]+=ya[0][x] += y。

如果第一个数字是111，接下来会有1" role="presentation" style="position: relative;">111个数字xxx表示询问a[k][x]" role="presentation" style="position: relative;">a[k][x]a[k][x]a[k][x]。

【输出格式】

对于每个询问操作，输出询问的值对100000000710000000071000000007取模的结果。

【输入样例】

4 11 3
0 1 1
0 3 1
1 1
1 2
1 3
1 4
0 3 1
1 1
1 2
1 3
1 4

【输出样例】

1
3
7
13
1
3
8
16

【数据范围】

对于100%100%100\%的数据，满足1≤n≤100000,1≤m≤100000,1≤k≤101≤n≤100000,1≤m≤100000,1≤k≤101 ≤ n ≤ 100000, 1 ≤ m ≤ 100000, 1 ≤ k ≤ 10。

对于100%100%100\%的数据，满足1≤x≤n,0≤y<10000000071≤x≤n,0≤y<10000000071 ≤ x ≤ n, 0 ≤ y 。

对于30%30%30\%的数据，满足1≤n,m≤10001≤n,m≤10001 ≤ n, m ≤ 1000。

对于另40%40%40\%的数据，满足1≤k≤21≤k≤21 ≤ k ≤ 2。

数据非常有梯度。

题解

感谢毕克不杀之恩。

终于有一道我不止会暴力的题，感觉能拿707070分，一个小时写完，跟暴力拍了几组大样例，感觉稳了啊，如果不是有个地方没取膜的话。。。

最后只有505050分，因为少取了一次膜，跪了202020分，跟暴力分+k=1k=1k=1得分一样，mmpmmpmmp。

虽然707070分很好得，但是要AAA掉这道题，还是需要一些骚操作，考虑求前缀和四次的式子：

∑i=1x∑j=1i∑k=1j∑p=1ka[0][p]" role="presentation" style="text-align: center; position: relative;">∑i=1x∑j=1i∑k=1j∑p=1ka[0][p]∑i=1x∑j=1i∑k=1j∑p=1ka[0][p]

\sum_{i=1}^x\sum_{j=1}^i\sum_{k=1}^j\sum_{p=1}^ka[0][p]

每当出现一个合法的i,j,k,pi,j,k,pi,j,k,p的组合，即满足1≤p≤k≤j≤i≤x1≤p≤k≤j≤i≤x1\le p\le k\le j\le i\le x时，a[0][p]a[0][p]a[0][p]就会被计算一次。不等式又可以表示为1<p+1<k+2<j+3<i+4<x+51<p+1<k+2<j+3<i+4<x+51

，那么一个合法的i,j,k,pi,j,k,pi,j,k,p组合就相当于在(p+1,x+5)(p+1,x+5)(p+1,x+5)中选择333个数，等于(x+3−p3)" role="presentation" style="position: relative;">(x+3−p3)(x+3−p3)\binom{x+3-p}{3}，当我们枚举ppp时，就有下面的式子：

∑p=1x(x+3−p3)a[0][p]" role="presentation" style="text-align: center; position: relative;">∑p=1x(x+3−p3)a[0][p]∑p=1x(x+3−p3)a[0][p]

\sum_{p=1}^x\binom{x+3-p}{3}a[0][p]

推广到kkk次：

∑p=1x(x+k−1−pk−1)a[0][p]" role="presentation" style="text-align: center; position: relative;">∑p=1x(x+k−1−pk−1)a[0][p]∑p=1x(x+k−1−pk−1)a[0][p]

\sum_{p=1}^x\binom{x+k-1-p}{k-1}a[0][p]

目前为止，我们就得到了一个O(nm)O(nm)O(nm)的做法，还需要一波~~丧心病狂~~精妙绝伦的化简。

考虑公式如下：

(x+k−1−pk−1)=∑i=0k−1(xi)(k−1−pk−1−i)(x+k−1−pk−1)=∑i=0k−1(xi)(k−1−pk−1−i)

\binom{x+k-1-p}{k-1}=\sum_{i=0}^{k-1}\binom{x}{i}\binom{k-1-p}{k-1-i}

组合意义是讲x+k−1−px+k−1−px+k-1-p分为x,k−1−px,k−1−px,k-1-p两部分，再枚举从xxx那部分选出i" role="presentation" style="position: relative;">iii个数的方案，与从k−1−pk−1−pk-1-p个数中选k−1−ik−1−ik-1-i个数的方案相乘。

代入原式：

∑p=1x(x+k−1−pk−1)a[0][p]=∑p=1x∑i=0k−1(xi)(k−1−pk−1−i)a[0][p]∑p=1x(x+k−1−pk−1)a[0][p]=∑p=1x∑i=0k−1(xi)(k−1−pk−1−i)a[0][p]

\sum_{p=1}^x\binom{x+k-1-p}{k-1}a[0][p]=\sum_{p=1}^x\sum_{i=0}^{k-1}\binom{x}{i}\binom{k-1-p}{k-1-i}a[0][p]

此时∑k−1i=0(xi)∑i=0k−1(xi)\sum_{i=0}^{k-1}\binom{x}{i}已经跟ppp无关了，我们把枚举p" role="presentation" style="position: relative;">ppp的部分放到后面去：

∑i=0k−1(xi)[∑p=1x(k−1−pk−1−i)a[0][p]]∑i=0k−1(xi)[∑p=1x(k−1−pk−1−i)a[0][p]]

\sum_{i=0}^{k-1}\binom{x}{i}[\sum_{p=1}^{x}\binom{k-1-p}{k-1-i}a[0][p]]

后面方括号框住的部分是一个前缀和的形式，而k−1−ik−1−ik-1-i的取值只有kkk个，所以我们直接上k" role="presentation" style="position: relative;">kkk个数据结构维护就好了。

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
const int M=8e5,mod=1e9+7;
int n,m,k,inv[M],base=1;
ll sum[18][M];
void in(){scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);}
void build(){while(base<n)base<<=1;}
void add(int id,int x,int y){x+=base;for(;x;x>>=1)sum[id][x]=(sum[id][x]+y)%mod;}
int ask(int id,int ri)
{int le=base,ans=0;ri+=base+1;for(;le^ri^1;le>>=1,ri>>=1) {if(le&1^1)ans=(ans+sum[id][le+1])%mod;if(ri&1)ans=(ans+sum[id][ri-1])%mod;}return ans;
}
void ac()
{build();int op,x,y;ll ans,C;--k;inv[1]=1;for(int i=2;i<=n+n;++i)inv[i]=1ll*inv[mod%i]*(mod-mod/i)%mod;for(int i=1;i<=m;++i){scanf("%d%d",&op,&x);if(op){ans=0,C=1;for(int j=0;j<=k;++j)ans=(ans+C*ask(k-j,x))%mod,C=C*(x-j)%mod*inv[j+1]%mod;printf("%lld\n",ans);}else{scanf("%d",&y);C=1;for(int j=0;j<=k;++j){add(j,x,1ll*y*C%mod);C=C*(k-x-j)%mod*inv[j+1]%mod;if(C<0)C+=mod;}}}
}
int main(){in();ac();}