最长递增子序列 两种做法

这里给一个例题，理解完可以做一做。HRBUST-1835

复杂度为\(O(N^2)\)做法

采用动态规划的做法

有一个长度为N的数组{a0, a1, a2, a3, ... , an-1}，我们假定以aj结尾的数组序列的最长递增子序列长度为dp[j]，那么dp[j]=max(dp[i]+1, i<j 并且a[i]<a[j])。我们需要遍历j之前所有位置的i，找出这个这个最大的值。

其他详细细节看代码实现。

#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>using namespace std;
const int N=1e3;
int a[N];
int dp[N];
int main()
{int n;while(scanf("%d", &n)!=EOF){for(int i=0; i<n; i++){scanf("%d", &a[i]);dp[i]=1; //每个需要初始化为1，因为每一个都可以自己成为一个最短的子序列}int ans=1;//答案最小是1for(int i=1; i<n; i++){for(int j=0; j<i; j++){if(a[j]<a[i] && dp[j]+1 > dp[i]) //这里需要满足两个条件，前面的数值小于a[i],并且加上这个序列后能够使得dp[i]增加。{         dp[i]=dp[j]+1;}}ans=max(ans, dp[i]);//这里求出dp中的最大值。}printf("%d\n", ans);}return 0;} 

复杂度为\(O(N*lgN)\)的算法

对于一个长度为n的递增序列，我们想让这个序列结尾的数值尽可能的小，因为只有这样当我们想要往后面添加数字时，这个数字可以比较小。

过程是这样的。

假设存在一个序列d[1..9] ={ 2，1 ，5 ，3 ，6，4， 8 ，9， 7}，可以看出来它的LIS长度为5。下面一步一步试着找出它。
我们定义一个序列B，然后令 i = 1 to 9 逐个考察这个序列。此外，我们用一个变量Len来记录现在最长算到多少了

首先，把d[1]有序地放到B里，令B[1] = 2，就是说当只有1一个数字2的时候，长度为1的LIS的最小末尾是2。这时Len=1

然后，把d[2]有序地放到B里，令B[1] = 1，就是说长度为1的LIS的最小末尾是1，d[1]=2已经没用了，很容易理解吧。这时Len=1

接着，d[3] = 5，d[3]>B[1]，所以令B[1+1]=B[2]=d[3]=5，就是说长度为2的LIS的最小末尾是5，很容易理解吧。这时候B[1..2] = 1, 5，Len＝2

再来，d[4] = 3，它正好加在1,5之间，放在1的位置显然不合适，因为1小于3，长度为1的LIS最小末尾应该是1，这样很容易推知，长度为2的LIS最小末尾是3，于是可以把5淘汰掉，这时候B[1..2] = 1, 3，Len = 2

继续，d[5] = 6，它在3后面，因为B[2] = 3, 而6在3后面，于是很容易可以推知B[3] = 6, 这时B[1..3] = 1, 3, 6，还是很容易理解吧？ Len = 3 了噢。

第6个, d[6] = 4，你看它在3和6之间，于是我们就可以把6替换掉，得到B[3] = 4。B[1..3] = 1, 3, 4， Len继续等于3

第7个, d[7] = 8，它很大，比4大，嗯。于是B[4] = 8。Len变成4了

第8个, d[8] = 9，得到B[5] = 9，嗯。Len继续增大，到5了。

最后一个, d[9] = 7，它在B[3] = 4和B[4] = 8之间，所以我们知道，最新的B[4] =7，B[1..5] = 1, 3, 4, 7, 9，Len = 5。

于是我们知道了LIS的长度为5。

最后这个B数组中存的数是对应的长度的LIS的最小末尾，就是同样长度的子序列，末尾数值最小的那个。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int maxn=107;
int a[maxn];
int main()
{int n;while(scanf("%d", &n)!=EOF){for(int i=1; i<=n; i++){scanf("%d", &a[i]);}int len=1, pos;for(int i=2; i<=n; i++)//这里我没有用两个数组，因为使用原来的数组也可以{pos=lower_bound(a+1, a+len+1, a[i])-a; //这里使用了lower_bound函数来进行查找第一个小于等于a[i]的数字if(pos>len)//如果位置大于了len长度的时候需要len++len++;a[pos]=a[i];}printf("%d\n", len);} return 0;} 

参考文章

点击这里