行列式

逆序数：一个排列中所有逆序的总数叫做这个排列的逆序数。
性质1：行列式与它的转置行列式相等。
性质2：对换行列式的两行（列），行列式变号。
性质3：行列式中某一行（列）中所有的元素都乘以同一个数kkk，等于用数kkk乘此行列式。
性质4：行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式等于零。
性质5：若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，例如第iii行的元素都是两数之和，则可分解为两个行列式之和。
性质6：把行列式的某一行（列）的各元素乘同一数然后加到另一行（列）对应的元素上去，行列式不变。
代数余子式Aij=(−1)i+jMijA_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}Aij=(−1)i+jMij

定理1：一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性。
定理2：行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和。

矩阵及其运算

矩阵加法：

A+B=B+AA+B=B+AA+B=B+A
(A+B)+C=A+(B+C)(A+B)+C=A+(B+C)(A+B)+C=A+(B+C)

矩阵数乘：

(λμ)A=λ(μA)(\lambda \mu)A=\lambda(\mu A)(λμ)A=λ(μA)
(λ+μ)A=λA+μA(\lambda+\mu)A=\lambda A+\mu A(λ+μ)A=λA+μA
λ(A+B)=λA+λB\lambda (A+B)=\lambda A+ \lambda Bλ(A+B)=λA+λB

相乘：
cij=∑k=1saikbkjc_{ij}=\sum_{k=1}^{s} a_{ik}b_{kj}cij=∑k=1saikbkj

(AB)C=A(BC)(AB)C=A(BC)(AB)C=A(BC)
λ(AB)=(λA)B=A(λB)\lambda (AB)=(\lambda A)B=A(\lambda B)λ(AB)=(λA)B=A(λB)
A(B+C)=AB+ACA(B+C)=AB+ACA(B+C)=AB+AC

转置：

(AT)T=A(A^{T})^{T}=A(AT)T=A
(A+B)T=AT+BT(A+B)^{T}=A^{T}+B^{T}(A+B)T=AT+BT
(λA)T=λAT(\lambda A)^{T}=\lambda A^{T}(λA)T=λAT
(AB)T=BTAT(AB)^{T}=B^{T}A^{T}(AB)T=BTAT

行列式：

∣AT∣=∣A∣|A^{T}|=|A|∣AT∣=∣A∣
∣λA∣=λn∣A∣|\lambda A|=\lambda^{n} |A|∣λA∣=λn∣A∣
∣AB∣=∣A∣∣B∣|AB|=|A||B|∣AB∣=∣A∣∣B∣

逆矩阵：
定理1：若矩阵A可逆，则∣A∣≠0|A| \neq 0∣A∣=0
定理2：若∣A∣≠0|A| \neq 0∣A∣=0，则矩阵AAA可逆，且A−1=1∣A∣A∗A^{-1}=\frac{1}{|A|} A^{*}A−1=∣A∣1A∗ （伴随矩阵）
当∣A∣=0|A|=0∣A∣=0时，∣A∣|A|∣A∣称为奇异矩阵。
矩阵AAA的mmm次多项式：φ(A)=a0E+a1A+⋯+amAm\varphi(A)=a_0E+a_1A+\dots+a_mA^{m}φ(A)=a0E+a1A+⋯+amAm

如果A=PΛP−1，则Ak=PΛkP−1A=P\Lambda P^{-1}，则A^k=P\Lambda^k P^{-1}A=PΛP−1，则Ak=PΛkP−1，从而φ(A)=Pφ(Λ)P−1\varphi(A)=P \varphi(\Lambda)P^{-1}φ(A)=Pφ(Λ)P−1

克拉默法则。
矩阵分块法。按列分块A=(a1,a2,⋯,an)A=(a_1,a_2,\cdots,a_n)A=(a1,a2,⋯,an)，按行分块A=(α1Tα2T⋮αmT)A=\left( \begin{matrix} \alpha_1^{T} \\ \alpha_2^{T} \\ \vdots \\ \alpha_m^{T} \end{matrix} \right)A=⎝⎜⎜⎜⎛α1Tα2T⋮αmT⎠⎟⎟⎟⎞;

矩阵的初等变换与线性方程组

初等行变换：

对换两行
以数k≠0k \neq 0k=0乘某一行中的所有元
把某一行所有元的kkk倍加到另一行对应的元上去

如果矩阵AAA经有限次初等变换变成矩阵BBB，就称矩阵AAA与BBB等价，记作A∼BA\sim BA∼B。

行阶梯形矩阵，行最简行矩阵。

定理1：设AAA与BBB为m×nm\times nm×n矩阵，那么

A∼BA\sim BA∼B的充分必要条件是存在mmm阶可逆矩阵PPP，使PA=BPA=BPA=B；
A∼BA\sim BA∼B的充分必要条件是存在nnn阶可逆矩阵QQQ，使AQ=BAQ=BAQ=B；
A∼BA\sim BA∼B的充分必要条件是存在mmm阶可逆矩阵PPP及nnn阶可逆矩阵QQQ，使PAQ=BPAQ=BPAQ=B；

矩阵AAA的kkk阶子式：在m×nm\times nm×n矩阵AAA中，任取kkk行与kkk列，位于这些行列交叉处的k2k^2k2个元素，不改变它们在AAA中所处的位置次序而得的kkk阶行列式。

秩：设在矩阵AAA中有一个不等于0的rrr阶子式DDD，且所有r+1r+1r+1阶子式（如果存在）全等于0，那么DDD称为矩阵AAA的最高阶非零子式，数rrr称为矩阵AAA的秩，记作R(A)R(A)R(A)。

定理2：若A∼BA\sim BA∼B，则R(A)=R(B)R(A)=R(B)R(A)=R(B)。
性质：

0≤R(Am×n)≤min{m,n}0\leq R(A_{m\times n}) \leq min\{m,n\}0≤R(Am×n)≤min{m,n}
R(AT)=R(A)R(A^{T})=R(A)R(AT)=R(A)
若A∼BA\sim BA∼B，则R(A)=R(B)R(A)=R(B)R(A)=R(B)
若PPP、QQQ可逆，则R(PAQ)=R(A)R(PAQ)=R(A)R(PAQ)=R(A)
max{R(A),R(B)}≤R(A,B)≤R(A)+R(B)max\{R(A),R(B)\} \leq R(A,B) \leq R(A)+R(B)max{R(A),R(B)}≤R(A,B)≤R(A)+R(B)
R(A+B)≤R(A)+R(B)R(A+B)\leq R(A)+R(B)R(A+B)≤R(A)+R(B)
R(AB)≤min{R(A),R(B)}R(AB) \leq min\{ R(A),R(B)\}R(AB)≤min{R(A),R(B)}
若Am×nBn×l=OA_{m\times n}B_{n\times l}=OAm×nBn×l=O，则R(A)+R(B)≤nR(A)+R(B)\leq nR(A)+R(B)≤n

nnn元线性方程组Ax=bAx=bAx=b

无解的充分必要条件是R(A)<R(A,b)R(A) < R(A,b)R(A)<R(A,b)；
有唯一解的充分必要条件是R(A)=R(A,b)=nR(A)=R(A,b)=nR(A)=R(A,b)=n；
有无限多解的充分必要条件是R(A)=R(A,b)<nR(A)=R(A,b)<nR(A)=R(A,b)<n。

nnn元齐次线性方程组Ax=0Ax=0Ax=0有非零解的充分必要条件是R(A)<nR(A)<nR(A)<n。

向量组的线性相关性

给定向量组A:a1,a2,⋯,amA: a_1,a_2,\cdots,a_mA:a1,a2,⋯,am和向量bbb，如果存在一组数λ1,λ2,⋯,λm\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_mλ1,λ2,⋯,λm，使b=λ1a1+λ2a2+⋯+λmamb=\lambda_1 a_1+\lambda_2 a_2+\cdots+\lambda_m a_mb=λ1a1+λ2a2+⋯+λmam，则称向量bbb能由向量组AAA线性表示。
定理1：向量bbb（或向量组BBB）能由向量组A:a1,a2,⋯,amA: a_1,a_2,\cdots,a_mA:a1,a2,⋯,am线性表示的充分必要条件是矩阵A=(a1,a2,⋯,am)A=(a_1,a_2,\cdots,a_m)A=(a1,a2,⋯,am)的秩等于矩阵B=(a1,a2,⋯,am,b)B=(a_1,a_2,\cdots,a_m,b)B=(a1,a2,⋯,am,b)的秩。

给定向量组A:a1,a2,⋯,amA: a_1,a_2,\cdots,a_mA:a1,a2,⋯,am，如果存在不全为零的数k1,k2,⋯,kmk_1,k_2,\cdots,k_mk1,k2,⋯,km，使k1a1+k2a2+⋯+kmam=0k_1a_1+k_2a_2+\cdots+k_ma_m=0k1a1+k2a2+⋯+kmam=0，则称向量组AAA是线性相关的。

定理：向量组A:a1,a2,⋯,amA: a_1,a_2,\cdots,a_mA:a1,a2,⋯,am线性相关的充分必要条件是它所构成的矩阵A=(a1,a2,⋯,am)A=(a_1,a_2,\cdots,a_m)A=(a1,a2,⋯,am)的秩小于向量个数mmm；向量组AAA线性无关的充分必要条件是R(A)=mR(A)=mR(A)=m。

如果向量组A:a1,a2,⋯,amA: a_1,a_2,\cdots,a_mA:a1,a2,⋯,am线性相关，则向量组B:a1,a2,⋯,am,am+1B: a_1,a_2,\cdots,a_m,a_{m+1}B:a1,a2,⋯,am,am+1也线性相关。反之，若向量组BBB线性无关，则向量组AAA也线性无关。
mmm个nnn维向量组成的向量组，当维数nnn小于向量个数mmm时一定线性相关。特别地n+1n+1n+1个nnn维向量一定线性相关。
设向量组A:a1,a2,⋯,amA: a_1,a_2,\cdots,a_mA:a1,a2,⋯,am线性相关，而向量组B:a1,a2,⋯,am,bB: a_1,a_2,\cdots,a_m,bB:a1,a2,⋯,am,b线性相关，则向量bbb必能由向量组AAA线性表示，且表示式是唯一的。

设有向量组AAA，如果在AAA中能选出rrr个向量a1,a2,⋯,ara_1,a_2,\cdots,a_ra1,a2,⋯,ar，满足

向量组A0:a1,a2,⋯,arA_0: a_1,a_2,\cdots,a_rA0:a1,a2,⋯,ar线性无关；
向量组AAA中任意r+1r+1r+1个向量都线性无关，那么称向量组A0A_0A0是向量组AAA的一个最大线性无关向量组，最大无关组所含向量个数rrr称为向量组AAA的秩。

最大无关组等价定义：设向量组A0:a1,a2,⋯,arA_0: a_1,a_2,\cdots,a_rA0:a1,a2,⋯,ar是向量组AAA的一个部分组，且满足

向量组A0A_0A0线性无关；
向量组AAA的任一向量都能由向量组A0A_0A0线性表示。

设m×nm\times nm×n矩阵AAA的秩R(A)=rR(A)=rR(A)=r，则nnn元齐次线性方程组Ax=0Ax=0Ax=0的解集SSS的秩Rs=n−rR_s=n-rRs=n−r。

向量空间：设VVV为nnn维向量的集合，如果集合VVV非空，且集合VVV对于向量的加法及数乘两种运算封闭，那么就称集合VVV为向量空间。

定义：设VVV为向量空间，如果rrr个向量a1,a2,⋯,ar∈Va_1,a_2,\cdots,a_r\in Va1,a2,⋯,ar∈V，且满足

a1,a2,⋯,ara_1,a_2,\cdots,a_ra1,a2,⋯,ar线性无关；
VVV中任一向量都可由a1,a2,⋯,ara_1,a_2,\cdots,a_ra1,a2,⋯,ar线性表示，

那么，向量组a1,a2,⋯,ara_1,a_2,\cdots,a_ra1,a2,⋯,ar就称为向量空间VVV的一个基，rrr称为向量空间VVV的维数，并称VVV为rrr维向量空间。

相似矩阵及二次型

设有nnn维向量x=(x1x2⋮xn)x=\left(\begin{matrix} x_1 \\ x_2\\ \vdots \\ x_n \end{matrix} \right)x=⎝⎜⎜⎜⎛x1x2⋮xn⎠⎟⎟⎟⎞，y=(y1y2⋮yn)y=\left(\begin{matrix} y_1 \\ y_2\\ \vdots \\ y_n \end{matrix} \right)y=⎝⎜⎜⎜⎛y1y2⋮yn⎠⎟⎟⎟⎞，令[x,y]=x1y1+x2y2+⋯+xnyn[x,y]=x_1y_1+x_2y_2+\cdots+x_ny_n[x,y]=x1y1+x2y2+⋯+xnyn，[x,y][x,y][x,y]称为向量xxx与yyy的内积。

性质：

[x,y]=[y,x][x,y]=[y,x][x,y]=[y,x]
[λx,y]=λ[x,y][\lambda x,y]=\lambda [x,y][λx,y]=λ[x,y]
[x+y,z]=[x,z]+[y,z][x+y,z]=[x,z]+[y,z][x+y,z]=[x,z]+[y,z]
当x=0x=0x=0时，[x,x]=0[x,x]=0[x,x]=0；当x≠0x\neq 0x=0时，[x,x]>0[x,x]>0[x,x]>0。

施瓦茨（Schwarz）不等式：[x,y]2≤[x,x][y,y][x,y]^{2}\leq [x,x][y,y][x,y]2≤[x,x][y,y]

范数（长度）：∣∣x∣∣=[x,x]=x12+x22+⋯+xn2||x||=\sqrt{[x,x]}=\sqrt{x_1^{2}+x_2^{2}+\cdots+x_n^{2}}∣∣x∣∣=[x,x]=x12+x22+⋯+xn2
性质：非负性；齐次性：∣∣λx∣∣=∣λ∣∣∣x∣∣||\lambda x||=|\lambda| ||x||∣∣λx∣∣=∣λ∣∣∣x∣∣

定理：若nnn维向量a1,a2,⋯,ara_1,a_2,\cdots ,a_ra1,a2,⋯,ar是一组两两正交的非零向量，则a1,a2,⋯,ara_1,a_2,\cdots ,a_ra1,a2,⋯,ar线性无关。

施密特（Schmidt）正交化。
如果nnn阶矩阵AAA满足ATA=EA^{T}A=EATA=E（即A−1=ATA^{-1}=A^{T}A−1=AT），那么称AAA为正交矩阵。
方阵AAA为正交矩阵的充分必要条件是AAA的列向量都是单位向量，且两两正交。

特征值和特征向量：Ax=λxAx=\lambda xAx=λx
设nnn阶矩阵A=(aij)A=(a_{ij})A=(aij)的特征值为λ1,λ2,⋯,λn\lambda_1 ,\lambda_2 ,\cdots ,\lambda_nλ1,λ2,⋯,λn，则

λ1+λ2+⋯+λn=a11+a22+⋯ann\lambda_1 +\lambda_2 +\cdots +\lambda_n =a_{11} +a_{22} +\cdots a_{nn}λ1+λ2+⋯+λn=a11+a22+⋯ann
λ1λ2⋯λn=∣A∣\lambda_1 \lambda_2 \cdots \lambda_n=|A|λ1λ2⋯λn=∣A∣

设λ1,λ2,⋯,λn\lambda_1 ,\lambda_2 ,\cdots ,\lambda_nλ1,λ2,⋯,λn是方阵AAA的mmm个特征值，p1,p2,⋯,pnp_1 ,p_2 ,\cdots ,p_np1,p2,⋯,pn依次是与之对应的特征向量，如果λ1,λ2,⋯,λn\lambda_1 ,\lambda_2 ,\cdots ,\lambda_nλ1,λ2,⋯,λn各不相等，则p1,p2,⋯,pnp_1 ,p_2 ,\cdots ,p_np1,p2,⋯,pn线性无关。

相似矩阵：设A、BA、BA、B都是nnn阶矩阵，若有可逆矩阵PPP，使P−1AP=BP^{-1}AP=BP−1AP=B，则称BBB是AAA的相似矩阵。
若nnn阶矩阵AAA与BBB相似，则AAA与BBB的特征多项式相同，从而AAA与BBB的特征值相同。
若nnn阶矩阵AAA与对角矩阵相似，则λ1,λ2,⋯,λn\lambda_1 ,\lambda_2 ,\cdots ,\lambda_nλ1,λ2,⋯,λn即是AAA的nnn个特征值。
矩阵对角化。
nnn阶矩阵AAA与对角矩阵相似的充分必要条件是AAA有nnn个线性无关的特征向量。

性质：对称矩阵的特征值为实数。
定理：设AAA为nnn阶对称矩阵，则必有正交矩阵PPP，使P−1AP=PTAP=ΛP^{-1}AP=P^{T}AP=\LambdaP−1AP=PTAP=Λ，其中Λ\LambdaΛ是以AAA的nnn个特征值为对角元的对角矩阵。

二次型：含有nnn个变量x1,x2,⋯,xnx_1, x_2, \cdots ,x_nx1,x2,⋯,xn的二次齐次函数f(x1,x2,⋯,xn)=a11x12+a22x22+⋯+annxn2+2a12x1x2+2a13x1x3+⋯+2an−1,nxn−1xnf(x_1, x_2, \cdots ,x_n)=a_{11}x_1^{2}+a_{22}x_2^{2}+\cdots +a_{nn}x_n^{2}+2a_{12}x_1x_2+2a_{13}x_1x_3+\cdots +2a_{n-1,n}x_{n-1}x_nf(x1,x2,⋯,xn)=a11x12+a22x22+⋯+annxn2+2a12x1x2+2a13x1x3+⋯+2an−1,nxn−1xn
当j>ij>ij>i时，取aji=aija_{ji}=a_{ij}aji=aij，则f=∑i,j=1naijxixjf=\sum_{i,j=1}^{n} a_{ij}x_ix_jf=∑i,j=1naijxixj
二次型可用矩阵记作f=xTAxf=x^{T}Axf=xTAx，其中AAA为对称矩阵。

设有二次型f(x)=xTAxf(x)=x^TAxf(x)=xTAx，如果对任何x≠0x\neq 0x=0，都有f(x)>0f(x)>0f(x)>0，则称fff为正定二次型，并称对称矩阵AAA是正定的；如果对任何x≠0x\neq 0x=0都有f(x)<0f(x)<0f(x)<0，则称fff为负定二次型。
对称矩阵AAA为正定的充分必要条件是：AAA的特征值全为正。

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