—  主要内容

1.       信源的分类与描述

2.       离散信源的信息熵和互信息

3.       离散序列信源的熵

4.       连续信源的熵与互信息

5.       冗余度

2.1 信源的分类与描述

—  信源的定义

产生消息（符号）、消息序列和连续消息的来源。

信源的基本特性是具有随机不确定性

l  分类

1.       时间           离散                连续

2.       幅度           离散                连续

3.       记忆           有                   无

n  介绍三类信源

Ø  单符号离散信源

Ø  符号序列信源（有记忆和无记忆）

Ø  连续信源

一．单符号离散信源

单符号离散信源：用随机变量X来描述

X的概率空间

二．符号序列信源

离散序列信源：用随机向量X^L描述

以3位PCM信源为例

三．连续信源

连续信源：用随机过程x(t)描述

p_x(x)不再是概率分布，而是概率密度分布函数

 

2.2 离散信源熵与互信息

—  信息量

自信息→平均自信息→符号熵

联合自信息→平均联合自信息→联合熵

条件自信息量→平均条件自信息→条件熵

—  单符号离散信源熵

符号熵

条件熵

联合熵

一．自信息量

1.      定义

对于给定的离散概率空间表示的信源，x=x_i事件所对应的（自）信息为

I(x_i) = - logp(x_i)

以2为底，单位为比特（bit)

以e为底，单位为奈特（nat)

1nat=1.433bit

以10为底，单位为笛特（det)

1det=3.322bit

2.      性质

u  两种特殊情况

l  p(xi)=1，确定事件，信息量I(xi)=0

l  p(xi)=0 ，I(xi)=无穷，概率为0的事件带来极大的信息量

u  I(xi) ≥0，非负性

u  I(xi)是p(xi)的单调递减函数

u  xi是一个随机量， I(xi)是xi的函数，也是随机变量，没有确定的值

Question？

自信息量I(xi)能反映整个信源的不确定性吗？

如果不能，那用什么量来反映呢？

3.      平均自信息量——信息熵H(X)

Answer：

用自信息量的平均值来描述

算术平均值

数学期望：加权平均值

1.      定义——信息熵

对于给定离散概率空间表示的信源所定义的随机变量I(xi)的数学期望（加权平均值）

2.      熵的物理含义

H(X)表示信源发出任何一个消息状态所携带的平均信息量

也等于在无噪声条件下，接收者收到一个消息状态所获得的平均信息量

熵的本意为热力学中表示分子状态的紊乱程度

信息论中熵表示信源中消息状态的不确定度

信源熵与信息量有不同的意义：

l  H(X)表示信源X每一个状态所能提供的平均信息量

l  H(X)表示信源X在没有发出符号以前，接收者对信源的平均不确定度

l  H(X)表示随机变量X的随机性

二．条件自信息

联合集XY中，在事件yj发生的条件下，关于事件xi的条件（自）信息量为：

I(x_i/y_i) = - logp(x_i/y_i)

平均条件自信息量——条件熵

—  定义：

联合集XY上，条件自信息量I(xi/yj)的概率加权平均值

—  如何求平均？

先在X集合上求平均（此时，在yj事件发生的条件下）

再在Y集合上求平均

三．联合自信息

1．定义：

联合概率空间中任一联合事件的联合（自）信息量为：

I(x_i,y_i) = - logp(x_i,y_i)

当X和Y相互独立时，

2. 联合熵

联合集XY上，每对事件的自信息量的概率加权平均值定义为联合熵。

—    单位为比特/序列

—    将联合事件x_iy_j作为一个随机事件求平均不确定度

四．熵函数的性质

熵函数可表示为

1. 非负性  H(X) ≥0

1. 对称性

概率矢量中的各分量的次序任意变更时，熵值不变

1. 确定性

信源概率空间中，任意一个概率分量等于1，其它概率分量必为0

信源为确知信源，其熵为0

1. 连续性
2. 扩展性
3. 最大熵定理

条件熵小于无条件熵

推广：多条件熵小于少条件熵

1. 条件熵小于无条件熵

五．几种自信息量之间的关系

—  自信息量、联合自信息量、条件自信息量都满足非负性和单调递减性。

—  三者都是随机变量，其值随着变量x_i和y_j的变化而变化。

—  关系式：

六．几种熵之间的关系

小结：

—  一共介绍了

—  自信息量ß---->平均自信息量

—  联合自信息量ß---->联合熵

—  条件自信息量ß---->条件熵

—  引入另一个很重要的概念——互信息

—  涉及到信息的交互

七．互信息

1.定义

接收端收到集合Y 中的一个消息符号y_j后，重新估计关于信源的各个消息x_i发生的概率，为条件概率p(x_i / y_j)，即后验概率。

互信息量=不确定程度的减少量

—  通信前

将信道看成关闭，可以认为输入随机变量X和输出随机变量Y之间没有任何关联关系，即X、Y统计独立。根据概率的性质，输入端出现x_i和输出端出现y_j的概率为：

此时，先验不确定度为

—  通信后

输入随机变量X和输出随机变量Y之间由信道的统计特性相联系。输入端出现x_i和输出端出现y_j的联合概率为

此时，后验不确定为

—  则，通信后流经信道的信息量等于通信前后不确定度的差，即y_j带来关于x_i的信息量：

互信息量定义为自信息量减去条件自信息量的差：

2.性质

1)        互易性：I(x;y) = I(y;x)

2)        互信息量可为0

3)        可正可负

4)        任何两个事件之间的互信息量小于其中任一事件的自信息量

3.平均互信息

—  联合集XY上求加权平均和

先在X集合上求平均

再在Y集合上求权平均值

综合一下，平均互信息量

在联合概率空间P(XY)中的统计平均值

4.平均互信息的性质

u  非负性：I(X;Y) ≥ 0

u  互易性：I(X;Y) =I(Y;X)

u  与熵和条件熵及联合熵关系

I(X;Y) = H(X) – H(X/Y) = H(Y) – H(Y/X) = H(X) + H(Y) –H(XY)

u  极值性

互信息量总是小于等于自信息量

接收者收到的信息量不可能大于信源发出的信息量

只有当信道为无噪声信道时，接收信息量才等于信源发出的信息量。

u  凸性函数性质

l  上凸性

n  当条件概率p(y_j/x_i)给定时，平均互信息量I(X;Y)是信源概率分布p(x_i)的∩型上凸函数

n  极大值

n  信道容量C：对于给定的信道，总可以找到一个先验概率分布为p_m(x_i)的信源，使得平均互信息量达到最大值

n  这个信源为该信道的匹配信源

l  下凸性

n  当信源X的概率分布p(x_i)保持不变时，平均互信息量I(X;Y)是条件概率分布p(y_j/x_i)的∪型下凸函数

n  极小值

n  信息率失真函数R(D)

u  信息不增性原理

l  I(X,Y;Z)=I(X;Z)+I(Y;Z/X)

l  I(X,Y;Z)=I(Y;Z)+I(X;Z/Y)

l  则有：I(X;Z)=I(Y;Z)+I(X;Z/Y)-I(Y;Z/X)

l  假设在Y条件下X与Z相互独立

n  即I(X;Z/Y)=0，且I(X;Y/Z)和I(Y;Z/X)均非负

n  则有：I(X;Z)≤I(Y;Z)      I(X;Z)≤I(X;Y)

l  I(X;Z)≤I(Y;Z)     I(X;Z)≤I(X;Y)

l  含义

n  当消息经过多级处理时，随着处理级数的增多，输入消息和输出消息之间的平均互信息量趋于变小。

l  数据处理定理

n  数据的处理过程中只会失掉一些信息，绝不会创造出新的信息

n  信息不增性

Ø  疑义度

n  I(X,Y)=H(X)-H(X/Y)

n  表示接收者收到Y后，对信源X仍然存在的平均不确定度

n  对于接收者来说，H(X)称为先验不确定度，H(X/Y)称为后验不确定度。

n  平均交互信息量等于不确定度的变化量

Ø  噪声熵

n  扩散度，噪声熵

n  I(X,Y)=H(Y)-H(Y/X)

n  表示发信者发出X后，对信道输出Y仍然存在的平均不确定度

n  对于发信者来说，H(Y)称为先验不确定度，H(Y/X)称为后验不确定度。

n  平均交互信息量等于不确定度的变化量

Ø  联合熵（共熵）

l  I(X,Y)=H(X)+H(Y)-H(X,Y)

l  表示通信完成之后，观察者对通信系统仍然存在的平均不确定度

l  对于观察来说

n  H(X)+H(Y)称为先验不确定度

n  H(X,Y)称为后验不确定度

l  平均交互信息量等于不确定度的变化量

l  I(X,Y)=H(X)-H(X/Y)=H(Y)-H(Y/X)=H(X)+H(Y)-H(X,Y)