灰色系统理论的介绍与解释

前言：

由于这是博主即将在CSDN上发表的第一篇文章，允许我简单介绍下自己：本科大二在读数学与应用数学专业。

至于为什么一个学纯数的学生要在IT软件上发表呢，我想是受到了身边计算机和软件朋友的影响。看到他们把自己的学习历程以文章的形式记录在电脑里，我也深受鼓舞。

恰巧，博主正在和小组一起准备2022全国大学生数学建模比赛，博主想：为什么不能把这段学习历程也以文章的形式记录下来呢？今天2022-6-24正式落实这个念头

在此，我需要提前声明的是：由于博主是纯数专业，看到CSDN上大多文章都附有算法，博主打算从理论分析的角度来分享自己的学习经历，不讲解算法，也算是另辟蹊径了吧。

所引用的文章以及灵感来源都会表明出处，博主做的类似与读书笔记，尊重版权，请大家放心！

目前借鉴了

司守奎的第二十八章灰色系统理论及其应用提取码：1hhp

正篇开始！！

1、灰色系统简介

1.1 什么是灰色系统

1.2 灰白黑的相对性

1.3 灰色系统理论所解决的问题

2、关联度的引入

2.1 关联度可以解决的问题

2.2 原始数据的处理

2.3 关联度的计算

2.4 关联度公式的解析

3、灰色模型GM(Grey Model)

3.1 灰色模型的主要作用

3.2 GM(m,n)的说明

3.3 GM(m,n)的形式

3.4 生成数的介绍

结语

注：区别于主成分分析得到的每一个主成分对整体的贡献度以及各主成分的累计贡献度

灰色关联度所得到的则是各“比较数列”和所事先选取的“参考数列”的相关程度。

虽然灰色关联度和主成分分析的最终结果有相似之处，原理上却大不相同。

关于⬆的有关概念我会在下面的文章中提到。

1.1 什么是灰色系统

首先，我们不妨把客观世界遇到的种种问题看成一个“箱子”。我们希望通过已获取到的箱子内的信息，对这些信息加以分析得到有用的结论。

根据我们箱子内信息的了解程度，我们可以大致地把所有遇到的问题归结为三类“箱子”

假设我们掌握了‘’箱子‘’内的所有信息——————我们称之为白箱，解决的也称为“白箱问题”

假设我们掌握的是一部分信息 ——————我们称之为灰箱。

假设我们对信息一无所知 ——————我们称之为黑箱。

1.2 灰白黑的相对性

有一点需要明白的是，不同角色对同一个问题可能面对的是不同“颜色”的箱子。

比如：

1、一个长期生活在北方的人，某天，去南方办公。不巧的是正值快到梅雨季节，他和他当地的南方朋友度过了连续几天甚至几周不见太阳的日子。他对最近的天气感到莫名的奇怪，对于他来说，这几天天气的原因是个“黑箱”问题；而对于他当地的南方朋友来说，朋友知道可能是梅雨快要到来了，是个“灰箱”。

2、...诸如此类自己尝试可以枚举

1.3 灰色系统理论所解决的问题

我们要明白的是，在我们面对实际问题时，绝对的“白箱”和“黑箱”是很少见的。

我们又时常想探索各因素没有明确逻辑关系的灰色系统，灰色系统理论给我们提供了一种可以避免

随机干扰的影响的一种探寻各因素内在逻辑的新的分析方法：

关联度分析法。

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

我先举出一个背景以方便我对概念的说明：

背景：

现在，银行要对多个企业做一个信贷决策方案，向我们求助。

假设我们已经对数据进行了粗处理，得到了各企业以下信息：

信誉评级：分等级A、B、C、D

违约情况：有过违约/没有违约历史

发票作废率、负数发票率、企业总营收、营收增长率、流动比率

2.1 关联度可以解决的问题

1、分析各指标的关联度：以得到和想要的指标优先相关的指标，便于得到相关结论

具体地例子：运动员训练某一项目时，通过将该项目设为参考数列，训练方式作为比较数列，进行关联度分析得到训练的侧重点

2、进行优势分析

3、......用到的地方很多很多，仅希望起到抛砖引玉的效果

2.2 原始数据的处理

由于我们要得到具体的数据进行定量分析，但我们已知的信息可能存在形式是多种多样的，有些单位不一样，有些甚至不是数字...... 怎么办？

我们通常使用的方法是：对数据进行

变换

有些教材可能会把这个名词定义的很花里胡哨，比如：数据变换，定向代换等等......

博主希望我们都化繁为简，去理解原理。

所谓变换

$f:A\rightarrow X$

上式就是集合A到X的一个变换

根据这一原理我们可以得到n多种变换，下面仅列出来几种常用的变换：

设有序列

$X=(x(1),x(2)...x(n))$ $k=1,2,...,n$

1、初值化变换/ 初始化变换

$f(x(k))=\frac{x(k)}{x(1)}$

2、均值化变换

$f(x(k))=\frac{x(k)}{\bar{x}}$

3、百分比变换

$f(x(k))=\frac{x(k)}{max x(k)}$

4、区间值化变换

$f(x(k))=\frac{x(k)-minx(k)}{max x(k)-minx(k)}$

结合我先前所举出的背景

现在我们要对企业的信誉评级和违约情况的原始数据进行处理

信誉评级分：A、B、C、D

我们可以构造映射

$A\rightarrow 1$

$B\rightarrow \frac{3}{4}$

$C\rightarrow \frac{2}{4}$

$D\rightarrow \frac{1}{4}$

这样，我们就把抽象的概念通过变换转化成了可操作的数据。

变换对于我们消除量纲，将抽象的指标转化为量化的数据具有极大的帮助。

比如：区间值化变换可以得到原始数据 $\rightarrow$ [0,1]的映射

初值化、均值化可以帮助我们标准化矩阵

百分比变换可以得到数据的权重等等

博主没有列出来的还有很多，大家感兴趣的话可以自行上网查阅资料学习。

2.3 关联度的计算

开头的“注”已说明，灰色系统所得到的均是和参考数列作比较的关联度。

所以，参考数列的选取对于我们的结论至关重要

那么，结合背景

选取参考数列为企业的信誉评级

$x_{0}=\left \{ x_{0}(k) | k=1,2,...,n\right \}$

(在该背景下n=4,我在这里用n表示一般情形）

选取比较数列，结合背景就是其他指标

$x_{i}=\left \{ x_{i}(k) | k=1,2,...,n\right \},i=1,2,...,m$

进行关联度计算：

$(1) \ \eta _{i}(k)=\frac{\underset{s}{min}\underset{t}{min}\left | x_{0}(t)-x_{s}(t) \right |+\rho \underset{s}{max}\underset{t}{max}\left | x_{0}(t)-x_{s}(t) \right |}{\left | x_{0}(t)-x_{i}(t) \right |+\rho \underset{s}{max}\underset{t}{max}\left | x_{0}(t)-x_{s}(t) \right |}$

我们从（1）得到了什么结论：

为比较数列 $x_{i}$ 对参考数列 $x_{0}$ 在k（可以是时刻，也可以是其他指标，看你想要什么）的关联度。

在该背景下， $\eta _{i}(k)$ 为第 $i$ 个企业，第k个指标与第 $i$ 个企业的信誉评级的关联度。

关于对（1）式的解读：关于为什么（1）式可以反映指标间的关联程度

解读：假设

$D={\underset{s}{min}\underset{t}{min}\left | x_{0}(t)-x_{s}(t) \right |$

$T=\underset{s}{max}\underset{t}{max}\left | x_{0}(t)-x_{s}(t) \right |$

$t=\left | x_{0}(t)-x_{i}(t) \right |$

2.4 关联度公式的解析

先分析比较数列和参考数列的相关性：

显然D,T均为定值，故（1）式唯一变量为 $t$ , 而 $t$ 显然反映了比较数值与参考数的距离

换句话说，比较数与参考数的距离决定了关联度，所以，（1）反映关联度也是自然的

再分析 $\rho$ 的作用：

我们规定

$\rho \epsilon [0,1]$

从极端情况考虑，若 $\rho$ = 0 则（1）式分母只由 $t$ 决定，相应的，随着比较数列的变化，结果的变化率会变大。反之若 $\rho$ = 1 结果的变化率会减小。故我们一般把 $\rho$ 取0.5 ，以期来控制结果变化时的稳定性，即：随着比较数列的变化，关联度变化的既不会太快也不会太慢。

有些参考资料上把 $\rho$ 定义为分辨系数， $\rho$ 越大，分辨率越大。

博主觉得过于抽象，故给出了这种相对好理解的描述。

最后解释D，T：

通过上述分析我们已经知道，其实对关联度真正起作用的是 $t$ ，那么，为什么要引入D，T两个常量呢？

1、避免分式不成立的情况出现。避免分母为0

2、控制关联度变化的快慢

3、形式上把关联度约束在[0,1] 的区间内

类似用参数 $\rho$ 的控制变化的方法也会在下面介绍灰色模型时经常用到。

3. 灰色模型GM(Grey Model)

灰色模型主要是运用微分方程的形式，基于已有数据，通过生成数的选取从而得到符合我们预期的预测模型，再经过检验确定模型的可信度。

！！！这一大块主要涉及到常微分方程的相关知识，司守奎的pdf可以说是相当详细，又伴有例子方便理解。故博主在这一章不再对公式之类的像前面说的那么详细，否则，会有盗用知识产权之嫌。

故博主在此仅把这章当作阅读笔记的形式来简要说明，列出纲要，起到帮助初学者快速了解内容的效果。

3.1 灰色模型的主要作用

利用原始数据得到生成数列，进而利用这一离散数据列建立微分方程形式的动态模型

解决各种情况下的预测问题都有着很好的效果，如：

按类型分：数列预测、区间预测、灾变预测、季节灾变预测、波形预测和系统预测等几种类型

具体如：灾难时间预测、通过预测值和实际值之间的对比分析得到经济受打击情况、道路交通事故的预测等等

3.2 GM(m,n)的说明

m : 代表最后得到的微分方程的阶数

n : 代表有n 个变量

当我们遇到不同的预测问题时不同阶数的灰色微分方程有着不同的贴合度。所以，我们在引用方程时要根据具体问题，灵活地使用这一工具。

比如：一阶灰色微分方程有着显著的指数性，故在经济指标的预测有较强的适应性。但，对于道路交通事故而言原始数据呈现的是近于“S"，结合实际分析这类问题在正常情况下是在一个区间内浮动，故我们应该考虑阶数更高的微分方程再去进一步检验适配程度。如Verhulst模型、GM(2,1)模型。

3.3 GM(m,n)的形式

既然是预测模型，我们最终是要得到一个跟年份或者其他指标为自变量的函数表达式。下面我会给出一般情况下的最终函数表达式。

$\frac{d^{n}x^{(1)}}{dt^{n}}+a_{n-1}\frac{d^{n-1}x()}{dt^{n-1}}+...+a_{2}\frac{d^{2}x^{(1)}}{dt^{2}}+a_{1}\frac{dx^{(1)}}{dt}+a_{0}x^{(1)}=\overset{n}{\underset{i=2}{\Sigma }}b_{i}x_{i}^{(1)}(k)$

解方程我们就可以得到形式如，对k做个 $t$ 的变量代换就可以得到关于年份的函数表达式

$(2)\ \ x^{(1)}(t)=...$

实际上我们不需要做这么高阶和多变量复合形式的微分方程，虽然理论上会有更高的精度，但解方程的代价也因此变高了很多，一般情况下GM(1,1),GM(2,1),GM(1,N),GM(0,N)的微分方程和原始数据就有了很高的贴合度。

3.4 生成数的介绍

有人看到GM(0,N) 会有疑问，没有微分的方程不就是多元线性回归吗？其实不然，形如多元线性回归模型但与一般的多元线性回归有着本质的区别。这要归功于生成数这一概念的运用。

现在我们有一列原始数据

$X=(x(1),x(2)...x(n))$

我们通过原始数据间的累加、相加、相减、乘除，得到的新的数列就叫做生成数列，简而言之，就是通过变换的方式，以期得到符合我们问题的一列数据。

这就要提到博主之前说的模型的检验这一问题了。虽然GM(1,1),GM(2,1)有一般的普适性，但当精度要求变高时，我们大致可以通过两种方式解决：

1、提高微分方程的阶数

2、经过适当的变换得到符合要求的一列生成数

得到生成数的方法可以参考前面提过的变换。

结语

至于检验参数是哪个？微分方程建立的具体过程？灰色模型的导数是怎么来的？只能根据大家的兴趣自行去阅读相关文献来自行消化了【抱拳】emoji