组合数学1--组合数学简介
文章目录
- 组合数学简介
- 一 什么是组合数学
- 二 最精巧的排列---幻方
- 1. 幻方历史背景
- 2. 幻方定义及计算
- (1) 定义
- (2) 存在性
- (3) 怎样构造
- (4) 多样性
- (5) 独特幻方
- 三 苦难的羊皮纸
- 四 你的手机密码安全吗
- 五 世界杯引出的问题
- 六 七桥问题
- 七 总结
组合数学简介
一 什么是组合数学
组合数学，亦称组合论、组合学，亦研究离散数学中的排列组合问题，研究的是计数技巧。
组合数学在数学发展史出现的阶段:
组合数学研究具有一定规格的事物。
事物是否存在，有多少种，是否可以变得更好，
即：对应组合数学研究的三大问题：存在性，技术性，优化性。
思考： 组合数学起源？
二 最精巧的排列—幻方
1. 幻方历史背景
(1) 大禹治水神龟背上的幻方
每行每列或者对角线之和均为15.
(2) 历史研究幻方第一人
南宋数学家杨辉（杨辉三角请参照文章：杨辉三角）著作：《续古摘奇算法》
(3) 西方幻方
德国画家画作：《忧郁》 时间：1514年
(4) 幻方–宇宙奥秘
2. 幻方定义及计算
(1) 定义
定义：方阵中，使每行、列和对角线上的数字和都相等的方法。
幻和：行/列的整数和为该幻方的幻和。
(2) 存在性
二阶幻方存在性
又因为：
与幻方定义相矛盾，所以假设不成立。二阶幻方不存在。
三阶及以上幻方存在性
(3) 怎样构造
杨辉构造三阶幻方：
杨辉洛书构作曲：“九子排列,上下对易,左右相更,四维挺出”
奇次幻方构造：原理：数字依次从左下到右上顺序摆放，并且整个方阵循环往复，循环往复位置被占用，则回到上一数字的下方。
4m阶幻方 ，4m+2阶幻方构造。
(4) 多样性
- 二阶幻方没有
- 三阶幻方只有一个
- 四阶幻方基本形式：880个，允许翻转旋转7040个
- 五阶幻方：2亿七千多万
- 六阶幻方：1.77×1019次方左右
(5) 独特幻方
特殊幻方一：
包中祥2008年奥运“完美幻方”
特殊幻方二：
特点：
- 每块幻方对角之和均相等。
- 分为九个三阶幻方。
- 九个三阶幻方的幻和构成三阶幻方，且构成以首项为111，末项为135，公差为3的等差数列。
***幻方的世界很奇妙，有兴趣的可以继续探索。***
思考： 西方组合数学起源？
三 苦难的羊皮纸
阿基米德羊皮卷经文开辟了西方组合数学的篇章。
经文下面的论文即为十四巧板问题，即：如果这14个巧板可以构成1个正方形，我们由多少种方法把这14个巧板重新放回这个正方形里呢？
计算机学家：暴力枚举，数学家：排列组合方法。得出17152种组合。
十四桥板
阿基米德羊皮卷经文
1666年，莱布尼茨发表《组合的艺术》，这是组合数学的第一部专著，首次使用组合论一词，标志着组合数学的诞生。
思考： 了解了东西方的组合数学的起源，那么与现实生活有什么联系呢？
四 你的手机密码安全吗
组合数学界泰斗级的大师，Thomas Tutte用组合数学的方法帮助破解了德国的洛伦兹密码。
手机密码问题：
安卓解码界面
如果选择两个点连成的线段，穿越了第三个点，如果之前这三个点没有被连过，则不合法；反之，则合法。所以要去除不合理的情况。
通过计算机枚举计算得出一共：389112种。
对比：
安卓手机389112种。 （更安全）
iphone手机4位密码10000种。
如果设手机用4位密码，结果只有1624个，五位密码7152个。计算小于6位8776个，安全系数相对于iphone低。
计数根本原则：无重复、无遗漏将所有合理的方案都囊括其中。
思考：组合数学的思想是什么？
五 世界杯引出的问题
问题：世界杯16支球队进行比赛，规则：一场比赛输者离开，那么能踢多少场比赛？
方式一：构建一个树形赛程表，那么有没有更好的方式呢？
方式二：每场比赛淘汰一个，淘汰球队个数对应比赛场数，16支球队淘汰15个，进行了15场比赛。
方式二处理很多支球队时就会显得更加便捷，快速。如果有n支球队参加比赛，最终需要的复赛数就是：n-1场。
六 七桥问题
哥尼斯堡七桥问题：从一处出发，怎样不重复的走完七座桥。
欧拉思想：转化为，在右图的基础上，能不能一笔画出所有边，即“一笔画”问题。
并给出欧拉一笔画问题充要条件：
所以再来看哥尼斯堡七桥问题，无可解方案。
当奇数点少了两个，奇数点的个数为2，根据欧拉思想，就有了可行解
那么有多少种不同的可行解呢？
欧拉论文种给出：奇数点为0，也即全全是偶数点时，完全一笔画，需要从一个偶数点出发再回到出发偶数点；奇数点为2，完全一笔画，需要从一个奇数点出发再回到另外一个奇数点。
所以六桥遍历问题就会大大简化。
这些问题对应计算机算法—–无重复遍历所有边，找出欧拉路问题。
组合数学用抽象的思维让枚举变得更精巧，敏捷。
七 总结
组合数学要达到的目的：
无重复、无遗漏
抽象能力，转换视角，是一门充满魅力的学科.
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