图片选自代码随想录-二叉树理论基础

二叉树的种类

题目中二叉树主要有两种形式：满二叉树和完全二叉树

满二叉树

满二叉树：如果一棵二叉树只有度为0的结点和度为2的结点，并且度为0的结点在同一层上，则这棵二叉树为满二叉树。如下图所示：

这棵二叉树为满二叉树，也可以说深度为k，有2^k-1个节点的二叉树。

完全二叉树

完全二叉树：在完全二叉树中，除了最底层节点可能没填满外，其余每层节点数都达到最大值，并且最下面一层的节点都集中在该层最左边的若干位置。若最底层为第 h 层，则该层包含 1~ 2^(h-1) 个节点。

满二叉树一定是完全二叉树。

二叉搜索树

前面介绍的树，都没有数值的，而二叉搜索树是有数值的了，二叉搜索树是一个有序树。

• 若它的左子树不空，则左子树上所有结点的值均小于它的根结点的值；

• 若它的右子树不空，则右子树上所有结点的值均大于它的根结点的值；

• 它的左、右子树也分别为二叉排序树

下面这两棵树都是搜索树：

二叉搜索树对节点的布局是没有要求的，只要保证元素有顺序就可以了。

平衡二叉搜索树

平衡二叉搜索树：又被称为AVL（Adelson-Velsky and Landis）树，且具有以下性质：它是一棵空树或它的左右两个子树的高度差的绝对值不超过1，并且左右两个子树都是一棵平衡二叉树。

如图：

C++中map、set、multimap，multiset的底层实现都是平衡二叉搜索树，其中的元素是有序的，map、set的增删操作时间时间复杂度是logn。

注意unordered_map、unordered_set，unordered_map、unordered_map底层实现是哈希表。

二叉树的存储方式

二叉树可以链式存储，也可以顺序存储。

那么链式存储方式就用指针， 顺序存储的方式就是用数组。

顾名思义就是顺序存储的元素在内存是连续分布的，而链式存储则是通过指针把分布在各个地址的节点串联一起。

链式存储如图：

顺式存储如图：

用数组来存储二叉树如何遍历的呢？

如果父节点的数组下标是 i，那么它的左孩子就是 i * 2 + 1，右孩子就是 i * 2 + 2。

但是用链式表示的二叉树，更有利于我们理解，所以一般我们都是用链式存储二叉树。

二叉树的遍历方式

二叉树主要有两种遍历方式：

1. 深度优先遍历：先往深走，遇到叶子节点再往回走。（不撞南墙不回头）

1. 广度优先遍历：一层一层的去遍历。

这两种遍历是图论中最基本的两种遍历方式

那么从深度优先遍历和广度优先遍历进一步拓展，才有如下遍历方式：

• 深度优先遍历

• 前序遍历（递归法，迭代法）

• 中序遍历（递归法，迭代法）

• 后序遍历（递归法，迭代法）

• 广度优先遍历

• 层次遍历（迭代法）

在深度优先遍历中的前中后，其实指的就是中间节点的遍历顺序，只要记住前中后序指的就是中间节点的位置就可以了。看如下中间节点的顺序，就可以发现，中间节点的顺序就是所谓的遍历方式

• 前序遍历：中左右

• 中序遍历：左中右

• 后序遍历：左右中

具体可见下图：

二叉树的定义方式

struct TreeNode{int val;TreeNode* left;TreeNode* right;// 构造函数，在new一个节点方便对其进行初始化TreeNode(int x): val(x), left(NULL), right(NULL) {}
};

二叉树的递归遍历

递归三步曲

1. 确定递归函数的参数和返回值： 确定哪些参数是递归的过程中需要处理的，那么就在递归函数里加上这个参数， 并且还要明确每次递归的返回值是什么进而确定递归函数的返回类型。

1. 确定终止条件： 写完了递归算法, 运行的时候，经常会遇到栈溢出的错误，就是没写终止条件或者终止条件写的不对，操作系统也是用一个栈的结构来保存每一层递归的信息，如果递归没有终止，操作系统的内存栈必然就会溢出。

1. 确定单层递归的逻辑： 确定每一层递归需要处理的信息。在这里也就会重复调用自己来实现递归的过程。

以前序遍历为例子：

1. 确定递归函数的参数和返回值：因为要打印出前序遍历节点的数值，所以参数里需要传入vector来放节点的数值，除了这一点就不需要再处理什么数据了也不需要有返回值，所以递归函数返回类型就是void，代码如下：

void travelsal(TreeNode* cur, vector<int>& vec)

1. 确定终止条件：在递归的过程中，如何算是递归结束了呢，当然是当前遍历的节点是空了（深度优先遍历一条路走到黑），那么本层递归就要结束了，所以如果当前遍历的这个节点是空，就直接return，代码如下：

if(cur == NULL) return;

1. 确定单层递归的逻辑：前序遍历是中左右的循序，所以在单层递归的逻辑，是要先取中节点的数值，再找到其左孩子和右孩子。代码如下：

vec.push_back(cur->val);        // 中
travelsal(cur->left, vec);      // 左
travelsal(cur->right, vec);     // 右

完整代码如下：

class Solution{
public:void traversal(TreeNode* cur, vector<int>& vec){if(cur == NULL) return;vec.push_back(cur->val);traversal(cur->left, vec);traversal(cur->right, vec);}vector<int> preorderTraversal(TreeNode* root){vector<int> result;traversal(root, result);return result;}
};

同理，中序遍历和后序遍历只需改变travelsal()函数里的语句顺序即可。

二叉树的迭代遍历（非递归遍历）

为什么可以用迭代法（非递归的方式）来实现二叉树的前后中序遍历呢？

递归的实现就是：每一次递归调用都会把函数的局部变量、参数值和返回地址等压入调用栈中，然后递归返回的时候，从栈顶弹出上一次递归的各项参数，所以这就是递归为什么可以返回上一层位置的原因。此时大家应该知道我们用栈也可以是实现二叉树的前后中序遍历了。

前序遍历

前序遍历是中左右，每次先处理的是中间节点，那么先将根节点放入栈中，然后将右孩子加入栈，再加入左孩子。为什么要先加入右孩子，再加入左孩子呢？ 因为这样出栈的时候才是中左右的顺序。

动画如下：

完整代码如下：

/*** Definition for a binary tree node.* struct TreeNode {*     int val;*     TreeNode *left;*     TreeNode *right;*     TreeNode() : val(0), left(nullptr), right(nullptr) {}*     TreeNode(int x) : val(x), left(nullptr), right(nullptr) {}*     TreeNode(int x, TreeNode *left, TreeNode *right) : val(x), left(left), right(right) {}* };*/
class Solution{
public:vector<int> preorderTraversal(TreeNode* root){    // 传入二叉树只需传入根节点stack<TreeNode*> st;vector<int> result;if(root == NULL) return result;st.push(root);while(!st.empty()){TreeNode* node = st.top();st.pop();result.push_back(node->val);if(node->right) st.push(node->right);if(node->left) st.push(node->left);}return result;}
};

后序遍历

再来看后序遍历，先序遍历是中左右，后续遍历是左右中，那么我们只需要调整一下先序遍历的代码顺序，就变成中右左的遍历顺序，然后在反转result数组，输出的结果顺序就是左右中了，如下图：

所以后序遍历只需要前序遍历的代码稍作修改就可以了，代码如下：

/*** Definition for a binary tree node.* struct TreeNode {*     int val;*     TreeNode *left;*     TreeNode *right;*     TreeNode() : val(0), left(nullptr), right(nullptr) {}*     TreeNode(int x) : val(x), left(nullptr), right(nullptr) {}*     TreeNode(int x, TreeNode *left, TreeNode *right) : val(x), left(left), right(right) {}* };*/
class Solution{
public:vector<int> preorderTraversal(TreeNode* root){stack<TreeNode*> st;vector<int> result;if(root == NULL) return result;st.push(root);while(!st.empty()){TreeNode* node = st.top();st.pop();result.push_back(node->val);if(node->left) st.push(node->left);if(node->right) st.push(node->right);}reverse(result.begin(), result.end());return result;}
};

中序遍历

刚刚在迭代的过程中，其实我们有两个操作：

1. 处理：将元素放进result数组中

1. 访问：遍历节点

分析一下为什么刚刚写的前序遍历和后序遍历的代码，不能和中序遍历通用呢，因为前序遍历的顺序是中左右，先访问的元素是中间节点，要处理的元素也是中间节点，所以刚刚才能写出相对简洁的代码，因为要访问的元素和要处理的元素顺序是一致的，都是中间节点。

那么再看看中序遍历，中序遍历是左中右，先访问的是二叉树顶部的节点，然后一层一层向下访问，直到到达树左面的最底部，再开始处理节点（也就是在把节点的数值放进result数组中），这就造成了处理顺序和访问顺序是不一致的。

那么在使用迭代法写中序遍历，就需要借用指针的遍历来帮助访问节点，栈则用来处理节点上的元素。

动画如下：

完整代码如下：

/*** Definition for a binary tree node.* struct TreeNode {*     int val;*     TreeNode *left;*     TreeNode *right;*     TreeNode() : val(0), left(nullptr), right(nullptr) {}*     TreeNode(int x) : val(x), left(nullptr), right(nullptr) {}*     TreeNode(int x, TreeNode *left, TreeNode *right) : val(x), left(left), right(right) {}* };*/
class Solution{
public:vector<int> inorderTraversal(TreeNode* root){stack<TreeNode*> st;vector<int> result;TreeNode* cur = root;    // cur相当于一个指针的作用while(!st.empty() || cur != NULL){if(cur != NULL){st.push(cur);cur = cur->left;}else{cur = st.top();st.pop();result.push_back(cur->val);cur = cur->right;}}return result;}
};

二叉树的统一迭代法

我们发现迭代法实现的先中后序，其实风格也不是那么统一，除了先序和后序，有关联，中序完全就是另一个风格了，一会用栈遍历，一会又用指针来遍历。其实针对三种遍历方式，使用迭代法是可以写出统一风格的代码。以中序遍历为例，无法同时解决访问节点（遍历节点）和处理节点（将元素放进结果集）不一致的情况。那我们就将访问的节点放入栈中，把要处理的节点也放入栈中但是要做标记。如何标记呢，就是要处理的节点放入栈之后，紧接着放入一个空指针作为标记。 这种方法也可以叫做标记法。

以中序遍历为例，代码如下：

class Solution {
public:vector<int> inorderTraversal(TreeNode* root) {vector<int> result;stack<TreeNode*> st;if (root != NULL) st.push(root);while (!st.empty()) {TreeNode* node = st.top();if (node != NULL) {st.pop(); // 将该节点弹出，避免重复操作，下面再将右中左节点添加到栈中if (node->right) st.push(node->right);  // 添加右节点（空节点不入栈）st.push(node);                          // 添加中节点st.push(NULL); // 中节点访问过，但是还没有处理，加入空节点做为标记。if (node->left) st.push(node->left);    // 添加左节点（空节点不入栈）} else { // 只有遇到空节点的时候，才将下一个节点放进结果集st.pop();           // 将空节点弹出node = st.top();    // 重新取出栈中元素st.pop();result.push_back(node->val); // 加入到结果集}}return result;}
};

统一迭代法的重点在于：

1. 处理操作是指将节点的值放入result数组，我们要解决访问节点（遍历操作）和处理节点不一致的情况，就将访问的要进行处理的节点也放入栈中并做上标记NULL。

1. 每次检查栈的出口，如果不为空，就弹出出口处元素，并按照对应的顺序往栈中加入左孩子、右孩子、中间节点及紧跟的NULL。如果为空，那么就说明NULL的前一个元素就是我们要的元素，将其push_back到result中。

1. 有了上述的处理原则后，对于前、中、后序遍历，由于我们使用的数据结构是栈，所以往栈中加入元素的顺序要反过来，例如中序遍历是左中右，那么代码中往栈中加入元素就要是：右孩子、中间节点、NULL、左孩子。由于2中的处理方法，最终我们弹出的每一个NULL前面的元素进入result后就可以得到要求的遍历顺序。

前序遍历代码：

class Solution{
public:vector<int> preorderTraversal(TreeNode* root){stack<TreeNode*> st;vector<int> result;if(root != NULL) st.push(root);while(!st.empty()){TreeNode* node = st.top();if(node != NULL){st.pop();if(node->right) st.push(node->right);if(node->left) st.push(node->left);st.push(node);st.push(NULL);}else{st.pop();node = st.top();st.pop();result.push_back(node->val);}}return result;}
};

后序遍历代码：

class Solution{
public:vector<int> postorderTraversal(TreeNode* root){stack<TreeNode*> st;vector<int> result;if(root != NULL) st.push(root);while(!st.empty()){TreeNode* node = st.top();if(node != NULL){st.pop();st.push(node);st.push(NULL);if(node->right) st.push(node->right);if(node->left) st.push(node->left);}else{st.pop();node = st.top();st.pop();result.push_back(node->val);}}return result;}
};