2021.06.03合并石子+能量项链

题目描述

在一个圆形操场的四周摆放 N 堆石子，现要将石子有次序地合并成一堆，规定每次只能选相邻的2堆合并成新的一堆，并将新的一堆的石子数，记为该次合并的得分。

试设计出一个算法,计算出将 N 堆石子合并成 1 堆的最小得分和最大得分。

输入格式

数据的第 1 行是正整数 N，表示有 N 堆石子。

第 2 行有 N 个整数，第 i 个整数 a i a_i ai

表示第 i 堆石子的个数。

输出格式

输出共 2 行，第 1 行为最小得分，第 2 行为最大得分。

样例输入

4
4 5 9 4

样例输出

43
54

数据规模和约定

1≤N≤100， 0 ≤ a i ≤ 20 0\leq a_i\leq 20 0≤ai≤20

思路

先思考如何确定子状态：
如果两堆(A,B)组成C，导致C的得分最大，那么是否A，B也是最大得分状态？
证：如果上述命题不成立，那么说明A,B得分还能更大，就可以得到更大的C得分，与前提矛盾。
所以，对于区间[i,j]只需要求出它所有切分情况（分成两堆），并求出切分的子堆最大得分，就可以推出dp[i][j]。
定义状态：
dp[i][j]：第i堆到第j堆的最大得分。
状态转移：
dp[i][j] = max/min{ dp[i][k] + dp[k+1][j] + val(i,j) }
其中val(i,j)为第i堆到第j堆石子的总个数。此外，当更新dp[i][j]时，并不能确定dp[i][k]是否已经更新成最优，所以在循环时，设定当前石头的组数，当前组数等于3时，那么小于3组的石头的情况已经全部更新为最优。具体些，当求dp[1][5]时，dp[1][2],dp[2][4]都已经更新成最优了，可以有效推出dp[1][5]。
另外，由于石头成环状放置，还需要考虑环的情况。

代码

 class Solution{ int MAXLEN = 500;int[][] dp1 = new int[MAXLEN][MAXLEN]; int[][] dp2 = new int[MAXLEN][MAXLEN];int[] arr = new int[MAXLEN];int[] s = new int[MAXLEN];int n;void test() {Scanner cin = new Scanner(System.in);n = cin.nextInt();for(int i = 1; i <= n; i++) {arr[i] = cin.nextInt();arr[i+n] = arr[i];s[i] = s[i-1] + arr[i];}for(int i = n+1; i < 2*n; i++) s[i] = s[i-1]+arr[i];for(int len = 1; len < n; len++) {for(int i = 1; i < 2*n; i++) { //遍历起点int j = i+len; //找到区间右边界if(j >= 2*n) break; //如果越界dp2[i][j] = 999999999;for(int k = i; k < j; k++) {dp1[i][j] = Math.max(dp1[i][j], dp1[i][k]+dp1[k+1][j]+d(i,j));dp2[i][j] = Math.min(dp2[i][j], dp2[i][k]+dp2[k+1][j]+d(i,j));}}}int max = 0, min = 999999999;for(int i = 1; i <= n; i++) {max = Math.max(max, dp1[i][i+n-1]);min = Math.min(min, dp2[i][i+n-1]);}System.out.println(min);System.out.println(max);}int d(int i, int j) {return s[j]-s[i-1];}}

能量项链

题目描述

在 Mars 星球上，每个 Mars 人都随身佩带着一串能量项链。在项链上有 N 颗能量珠。能量珠是一颗有头标记与尾标记的珠子，这些标记对应着某个正整数。并且，对于相邻的两颗珠子，前一颗珠子的尾标记一定等于后一颗珠子的头标记。因为只有这样，通过吸盘（吸盘是 Mars 人吸收能量的一种器官）的作用，这两颗珠子才能聚合成一颗珠子，同时释放出可以被吸盘吸收的能量。如果前一颗能量珠的头标记为 m，尾标记为 r，后一颗能量珠的头标记为 r，尾标记为 n，则聚合后释放的能量为 m \times r \times n（Mars 单位），新产生的珠子的头标记为 m，尾标记为 n。

需要时，Mars 人就用吸盘夹住相邻的两颗珠子，通过聚合得到能量，直到项链上只剩下一颗珠子为止。显然，不同的聚合顺序得到的总能量是不同的，请你设计一个聚合顺序，使一串项链释放出的总能量最大。

例如：设 N=4，4 颗珠子的头标记与尾标记依次为 (2,3)(3,5)(5,10)(10,2)。我们用记号 ⊕ \oplus ⊕ 表示两颗珠子的聚合操作， ( j ⊕ k ) (j \oplus k) (j⊕k) 表示第 j,k 两颗珠子聚合后所释放的能量。则第 4 、 1 两颗珠子聚合后释放的能量为：

( 4 ⊕ 1 ) = 10 × 2 × 3 = 60 (4 \oplus 1)=10 \times 2 \times 3=60 (4⊕1)=10×2×3=60

这一串项链可以得到最优值的一个聚合顺序所释放的总能量为：

( ( 4 ⊕ 1 ) ⊕ 2 ) ⊕ 3 ) = 10 × 2 × 3 + 10 × 3 × 5 + 10 × 5 × 10 = 710 ((4 \oplus 1) \oplus 2) \oplus 3)=10 \times 2 \times 3+10 \times 3 \times 5+10 \times 5 \times 10=710 ((4⊕1)⊕2)⊕3)=10×2×3+10×3×5+10×5×10=710

输入格式

第一行是一个正整数 N（4≤N≤100），表示项链上珠子的个数。第二行是 N 个用空格隔开的正整数，所有的数均不超过 1000。第 i 个数为第 i 颗珠子的头标记（1≤i≤N），当 i<N 时，第 i 颗珠子的尾标记应该等于第 i+1 颗珠子的头标记。第 N 颗珠子的尾标记应该等于第 1 颗珠子的头标记。

至于珠子的顺序，你可以这样确定：将项链放到桌面上，不要出现交叉，随意指定第一颗珠子，然后按顺时针方向确定其他珠子的顺序。

输出格式

一个正整数 E（ E ≤ 2.1 × 1 0 9 E\le 2.1 \times 10^9 E≤2.1×109），为一个最优聚合顺序所释放的总能量。

样例输入

4
2 3 5 10

样例输出

710

思路同上。

区间dp问题都是和区间划分有关。即求出一个区间的最大分数，这个分数和区间的一个划分有关。即：

区间划分的分数 = > 区间的最大得分区间划分的分数 => 区间的最大得分区间划分的分数=>区间的最大得分

分析同上

代码

    class Solution{ int MAXLEN = 500;//dp[i][j]: 第i个到第j个聚合的最大能量，只和中间变量int[][] dp = new int[MAXLEN][MAXLEN]; int[] arr = new int[MAXLEN]; //表示第i个珠子的头，即第i-1个珠子的尾int[] s = new int[MAXLEN];int n;void test() {Scanner cin = new Scanner(System.in);n = cin.nextInt();s[0] = 1;for(int i = 1; i <= n; i++) {arr[i] = cin.nextInt();arr[i+n] = arr[i];s[i] = s[i-1] * arr[i];}for(int i = n+1; i <= 2*n; i++) s[i] = s[i-1]+arr[i]; for(int len = 1; len < n; len++) {//区间长度for(int i = 1; i < 2*n; i++) {//第i个珠子int j = i+len; //找到区间右边界if(j >= 2*n) break; //如果越界for(int k = i; k < j; k++) {dp[i][j] = Math.max(dp[i][j], dp[i][k]+dp[k+1][j]+arr[i]*arr[k+1]*arr[j+1]);}}}int max = 0;for(int i = 1; i <= n; i++) {max = Math.max(max, dp[i][i+n-1]);}System.out.println(max);}}