计算机图形学（三维对象的实体模型）

实体造型
计算机造型：如何在计算机中建立模型表示不同图形对象。
图形对象的描述包括图形信息和非图形信息。
（1）图形信息又分为几何信息和拓扑信息。几何信息包括形体位置和大小，拓扑信息包括形体点、边、面的数量及相互之间的连接关系。例如，正方体的八个顶点的位置为几何信息，而顶点之间的连接关系为拓扑信息。
（2）非图形信息包括图形对象的线型、颜色、体积和材质。
为了能够唯一性地描述图形对象，仅有图形地几何信息是不够的，必须有拓扑对象地补充，才能保证所描述地图形对象没有二义性。例如，下图给定的5个顶点可以看作是图形的几何信息：

而这5个点根据不同的拓扑信息可以绘制出不同的图形对象：

要在计算机内部建立模型表示图形，通常需要定义图形的表示形式。图形学中图形对象常采用体、面、环、边、顶点这样的层次记录图形信息。
（1）顶点定义为0维度的几何元素，它可以是平面上的点、直线上的点、空间当中的点；
（2）边定义为1维几何元素，通常两个或多个邻面的交界线称为边，边有方向性、边可以是直线也可以是曲线；
（3）环定义为2维几何元素，有序并且有向的边组成的面的封闭边界，构成环的边可以是直线也可以是曲线。环又可以分为外环和内环，外环边通常按逆时针方向排序，内环边通常按顺时针方向排序，这种排序规则可以保证环边的左侧总是面向环的内部。如下图，外侧环沿蓝色直线的逆时针定义，内侧环沿白色直线的顺时针定义:

（4）面定义为2维几何元素，面是图形对象上一个有限的、非零的区域，是由一个外环和若干个内环来界定的范围，面同样具有方向性，一般用面的外法向量定义面的正面，面可以是平面、也可以是曲面。
（5）体定义为3维几何元素，是由封闭表面围成的空间，其边界是有限面的并集。
形体是由点、边、环、面按层次表示构建而成，这些层次之间具有连接关系：

常用几何模型包括线框模型、表面模型、实体模型，可以形象地比喻为线框模型表示图形的形体骨架，表面模型表示图形的形体皮肤，实体模型表示表示有血有肉的完整图形。下图从左到右表示图形的线框模型、表面模型、实体模型：

（1）线框模型是由顶点、邻边表示的三维形体，存在二义性（如下图，左侧的线框模型可以对应右侧的两种图形），易构造出无效实体，无法表示光照、消隐等真实感

（2）表面模型是指由面的集合表示三维形体，用环界定面的边界，可以实现光照、消隐等真实感的图形，但是由于表面模型只有表面信息无法区分内外，因此无法确定物体位于面的哪一侧，同时表面模型也无法计算、分析物体的质量、重心等性质。
（3）实体模型可以表示完整、无歧义的三维模型，实体模型是最完善的模型定义，它能够表达全部的形状信息，如物体的位置、面积、长度、体积、拓扑关联等，同时也定义了物体的并、交、差集合运算和欧拉运算等。
通常，我们希望用几何模型表示的可以是某种意义的有效实体，因此三维空间当中的物体通常要求它具备以下的性质：

平面多面体、简单多面体一般都是有效的实体。平面多面体是指表面由平面多边形构成的三维物体；简单多面体是指经过连续的几何形变可以变换为一个球的多面体，即与球拓扑等价的多面体。
可以利用欧拉定理来判定多面体的有效性，对于简单多面体，其顶点V、边数E、面数F满足如下关系：

对于非简单多面体可以利用扩展的欧拉定理来判定其有效性。
扩展的欧拉定理：令H表示多面体表面上孔的个数，G表示贯穿多面体的孔的个数，C表示独立的、不相连接的多面体数，则它们之间的关系满足：

实体模型在计算机内部的表示方法可以有很多种，常用的是边界表示法、构造实体几何表示法、空间分割表示法：

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