「BZOJ1095」[ZJOI2007] Hide 捉迷藏

题目描述

Jiajia和Wind是一对恩爱的夫妻，并且他们有很多孩子。某天，Jiajia、Wind和孩子们决定在家里玩捉迷藏游戏。他们的家很大且构造很奇特，由N个屋子和N-1条双向走廊组成，这N-1条走廊的分布使得任意两个屋子都互相可达。

游戏是这样进行的，孩子们负责躲藏，Jiajia负责找，而Wind负责操纵这N个屋子的灯。在起初的时候，所有的灯都没有被打开。每一次，孩子们只会躲藏在没有开灯的房间中，但是为了增加刺激性，孩子们会要求打开某个房间的电灯或者关闭某个房间的电灯。为了评估某一次游戏的复杂性，Jiajia希望知道可能的最远的两个孩子的距离（即最远的两个关灯房间的距离）。

我们将以如下形式定义每一种操作：

C(hange) i 改变第i个房间的照明状态，若原来打开，则关闭；若原来关闭，则打开。
G(ame) 开始一次游戏，查询最远的两个关灯房间的距离。

输入输出格式

输入格式：

第一行包含一个整数N，表示房间的个数，房间将被编号为1,2,3…N的整数。

接下来N-1行每行两个整数a, b，表示房间a与房间b之间有一条走廊相连。

接下来一行包含一个整数Q，表示操作次数。接着Q行，每行一个操作，如上文所示。

输出格式：

对于每一个操作Game，输出一个非负整数到hide.out，表示最远的两个关灯房间的距离。若只有一个房间是关着灯的，输出0；若所有房间的灯都开着，输出-1。

输入输出样例

输入样例#1：

输出样例#1：

说明

对于20%的数据， N ≤50, M ≤100；

对于60%的数据， N ≤3000, M ≤10000；对于100%的数据， N ≤100000, M ≤500000。

题解

神仙般的操作……

膜拜岛娘的思路和hzwer的代码……

我们先假设有以上这么一棵树（图丑勿介）

进行先序遍历，得到$[A[B[E][F[H][I]]][C][D[G]]]$

再把所有字母去掉$[ [ [ ] [ [ ] [ ] ] ] [ ] [ [ ] ] ]$

这就是这一棵树的括号编码（本质是dfs得到的）

花了这么大功夫找，但这玩意儿到底有什么用呢？

我们考虑两个节点，E和G

取出他们之间的那段括号编码$] [ [ ] [ ] ] ] [ ] [ [$

再将所有匹配的括号去掉，得到$] ] [ [$

我们看到了两个$]$和两个$[$

再回到树上，我们发现E向上走两步，再向下走两步就到达了G

于是发现括号序列可以很方便地维护点与点之间的距离

能不能进一步优化呢？

我们发现，对于距离而言，匹配的括号是没有任何意义的

而且，由于距离只需要记录数字，所以维护括号也是没有意义的，只要有编码就行，可以用一个二元组$(a,b)$来描述它，表示有a个$]$和b个$[$

所以，如果有两个点P和Q，如果介于P和Q之间的括号编码表示为$(a,b)$，则P和Q在树上的距离就是a+b

是不是很方便啊~\(≧▽≦)/~啦啦啦

但是现在问题又来了，怎么维护编码呢？

如果可以通过左边一半的信息和右边一半的信息，从而得到整段编码的信息，就可以用我们熟悉的线段树来维护了

我们可以进行如下的分析

考虑对于两段括号编码$s1(a,b)$和$s2(c,d)$，他们合并起来可以得到$s(x,y)$

注意到$s1$和$s2$合并起来时会产生$min(b,c)$的匹配括号，合并后他们会被抵消掉

于是

当 $b<c$ 时第一段 [ 就被消完了，两段 $]$ 连在一起，例如：

$] ] [ [ + ] ] ] [ [ = ] ] ] [ [$

当 $b>=c$ 时第二段 ] 就被消完了，两段 $[ $连在一起，例如：
$] ] [ [ [ + ] ] [ [ = ] ] [ [ [$

于是就得到了几个十分有用的结论

当 $b<c$ 时，$(x,y) = (a-b+c,d)$

当 $b>=c$ 时，$(x,y) = (a,b-c+d)$

于是就可以用线段树维护整棵树的括号编码~\(≧▽≦)/~啦啦啦

题目所要求维护的，是$max\{a+b|s'(a,b)是s的一个子串，且s'位于两黑点之间\}$，我们将这个值表示为$dis(s)$

我们先根据上面的两条结论，得到几个推论

$①x+y=a+d+|b-c|=max((a+b-c+d),(a-b+c+d))$

$②x-y=a-b+c-d$

$③y-x=b-a+d-c$

由①式我们可以发现，要维护$dis(s)$，要维护四个值$a+b,d-c,a-b,d+c$

又为了保证$s'$在两个黑点之间，所以要加上一些限制

于是定义出如下四个参数

$rightplus:max(a+b),s'是s的一个前缀且s紧接在一个黑点之后$
$rightminus:max(a-b),s'是s的一个前缀且s紧接在一个黑点之后$
$leftplus:max(a+b),s'是s的一个后缀且一个黑点紧接在s之后$
$leftminus:max(b-a),s'是s的一个后缀且一个黑点紧接在s之后$

于是我们就可以用左右两半的状态转移到一整段的状态啦

还是考虑$s(x,y),s1(a,b),s2(c,d)$

$(x,y)=b<c?(a-b+c,d):(a,b-c+d)$

$dis(s)=max(dis(s1),dis(s2),rightplus(s1)+leftminus(s2),rightminus(s1)+leftplus(s2))$

（把四个参数的值带入上面的等式很容易发现这是正确的）

然后再来考虑如何求出四个参数呢？

$rightplus(s)=max(rightplus(s1)-c+d,rightminus(s1)+c+d,rightplus(s2))$

$rightminus(s)=max(rightminus(s1)+c-d,rightminus(s2))$

$leftplus(s)=max(leftplus(s2)-b+a,left_minus(s1)+b+a,leftplus(s1))$

$leftminus(s)=max(leftminus(s2)+b-a,leftminus(s1))$

然后就可以用线段树处理整个括号编码了

实际实现的时候还有一些小细节要注意

我们为了实现更方便，最好还是在编码时加入括号

对于底层结点，如果对应字符是一个括号或者一个白点，那么right_plus、right_minus、left_plus、left_minus、dis 的值就都是 -inf；如果对应字符是一个黑点，那么 right_plus、right_minus、left_plus、left_minus 都是 0，dis 是-inf。

具体细节可以参见代码，注解比较详细（主要是因为自己照着打了一遍也不太看得懂代码……）

  1 //minamoto
  2 #include<bits/stdc++.h>
  3 #define N 100005
  4 #define inf 0x3f3f3f3f
  5 using namespace std;
  6 inline int read(){
  7     #define num ch-'0'
  8     char ch;bool flag=0;int res;
  9     while(!isdigit(ch=getchar()))
 10     (ch=='-')&&(flag=true);
 11     for(res=num;isdigit(ch=getchar());res=res*10+num);
 12     (flag)&&(res=-res);
 13     #undef num
 14     return res;
 15 }
 16 int ver[N<<1],Next[N<<1],head[N];
 17 int v[N*3],pos[N],c[N];
 18 int n,q,cnt,tot,black;
 19 struct seg{
 20     int l,r,l1,l2,r1,r2,c1,c2,dis;
 21     void init(int x){
 22         dis=-inf;
 23         c1=c2=0;
 24         if(v[x]==-1) c2=1;
 25         if(v[x]==-2) c1=1;
 26         /*c2为失配左括号，c1为失配右括号
 27         为左括号，c2=1；为右括号，c1=1*/
 28         if(v[x]>0&&c[v[x]]) l1=l2=r1=r2=0;
 29         else l1=l2=r1=r2=-inf;
 30         /*为黑点，l_plus,l_minus,r_plus,r_minus全为0
 31         为白点或括号，全为1*/
 32     }
 33 }a[N*12];
 34 inline int max(int a,int b,int c){return max(a,max(b,c));}
 35 void add(int u,int v){
 36     ver[++tot]=v,Next[tot]=head[u],head[u]=tot;
 37     ver[++tot]=u,Next[tot]=head[v],head[v]=tot;
 38 }
 39 void dfs(int u,int fa){
 40     v[++cnt]=-1;
 41     v[++cnt]=u;
 42     pos[u]=cnt;
 43     for(int i=head[u];i;i=Next[i])
 44     if(ver[i]!=fa) dfs(ver[i],u);
 45     v[++cnt]=-2;
 46     /*进入加左括号，离开加右括号*/
 47 }
 48 inline void merge(seg &s,seg s1,seg s2){
 49     /*r1=max(a+b),r2=max(a-b){s1(a,b)是s前缀且s1紧接在一个黑点之后}
 50     l1=max(a+b),l2=max(b-a){s2(a,b)是s后缀且s2紧接在一个黑点之前}*/
 51     int a=s1.c1,b=s1.c2,c=s2.c1,d=s2.c2;
 52     s.dis=max(s1.dis,s2.dis);
 53     s.dis=max(s.dis,s1.r1+s2.l2,s1.r2+s2.l1);
 54     /*s.dis=max(s1.dis,s2.dis,a1+b1-a2+b2,a1-b1+a2+b2)*/
 55     b<c?(s.c1=a-b+c,s.c2=d):(s.c1=a,s.c2=b-c+d);
 56     s.r1=max(s2.r1,s1.r1-c+d,s1.r2+c+d);
 57     /*a+b=max(a1-b1+a2+b2,a1+b1+b2-a2)*/
 58     s.r2=max(s2.r2,s1.r2+c-d);
 59     /*a-b=a1-b1+a2-b2*/
 60     s.l1=max(s1.l1,s2.l1-b+a,s2.l2+b+a);
 61     /*同上*/
 62     s.l2=max(s1.l2,s2.l2+b-a);
 63     /*b-a=b2-a2+b1-a1*/
 64 }
 65 void build(int p,int l,int r){
 66     a[p].l=l,a[p].r=r;
 67     if(l==r){
 68         a[p].init(l);
 69         return;
 70     }
 71     int mid=(l+r)>>1;
 72     build(p<<1,l,mid);
 73     build(p<<1|1,mid+1,r);
 74     merge(a[p],a[p<<1],a[p<<1|1]);
 75 }
 76 void modify(int p,int x){
 77     int l=a[p].l,r=a[p].r;
 78     if(l==r){a[p].init(l);return;}
 79     int mid=(l+r)>>1;
 80     if(x<=mid) modify(p<<1,x);
 81     else modify(p<<1|1,x);
 82     merge(a[p],a[p<<1],a[p<<1|1]);
 83 }
 84 int main(){
 85     //freopen("testdata.in","r",stdin);
 86     black=n=read();
 87     for(int i=1;i<=n;++i) c[i]=1;
 88     for(int i=1;i<n;++i){
 89         int u=read(),v=read();
 90         add(u,v);
 91     }
 92     dfs(1,0);
 93     build(1,1,cnt);
 94     q=read();
 95     while(q--){
 96         char s[10];
 97         scanf("%s",s);
 98         if(s[0]=='C'){
 99             int x=read();
100             if(c[x]) --black;
101             else ++black;
102             c[x]^=1;
103             modify(1,pos[x]);
104         }
105         else{
106             if(!black) puts("-1");
107             else if(black==1) puts("0");
108             else printf("%d\n",a[1].dis);
109         }
110     }
111     return 0;
112 }

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